Exercício 6 - Capítulo 3 (livro Elon)

Nesse exercício, define-se $f: \mathcal{L}(\mathbb{R}^m) \to \mathcal{L}(\mathbb{R}^m)$ dada por $f(X) = X^5$ e se pede para calcular
\begin{align*}
&f'(X)\cdot H, \\
&f''(X)\cdot (H,K), \\
&f'''(X)\cdot (H, K, L), \\
&f^{(4)}(X)\cdot (H, K, L, M), \\
&f^{(5)}(X)\cdot (H, K, L, M, N)
\end{align*} para quaisquer $X, H, K, L, M, N \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^m)$.

Se eu não errei nas contas,
\begin{equation*}
f'(X)\cdot H = X^4 \cdot H + X^3 \cdot H \cdot X + X^2 \cdot H \cdot X + X \cdot H \cdot X^4 + H \cdot X^4.
\end{equation*} A minha pergunta é: tem alguma maneira de calcular as demais derivadas sem que a quantidade de contas aumente muito rapidamente com cada nova derivação?