Exercício 11 - Capítulo 5 (livro Elon)
Esse exercício pede para mostrar que se $f: [0,1]\to\mathbb{R}^n$ e $g: [0,1]\to\mathbb{R}$ são diferenciáveis com $|f(t)| \leq g'(t), \forall t\in [0,1]$, então $|f(1) - f(0)| \leq g(1) - g(0)$.
O livro sugere considerar, dado $\varepsilon >0$, o conjunto
$$
X = \{ t\in [0,1] : |f(t) - f(0)| \leq g(t) - g(0) + \varepsilon t + \varepsilon \}
$$ e mostrar que dado $a\in X$, existe $\delta > 0$ tal que $a+\delta \in X$.
Eu consigo entender que mostrando o que a sugestão diz, segue que $\sup X = 1$ e daí vai seguir a desigualdade que a gente quer, mas não consigo mostrar a sugestão em si. Alguém pode ajudar? :-)
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não faço a menor ideia!
Mas sugiro pensar primeiro em $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}^+$. Assim, você não precisa ficar dividindo em casos.
Depois, você permite que $f$ assuma valores negativos, também. Acho que é fácil, porque você pode separar na parte positiva e na parte negativa.
Depois, você usa o funcional linear
\begin{equation*}
\varphi(x) = x \cdot \frac{f(1) - f(0)}{\|f(1) - f(0)\|}
\end{equation*}
pra concluir que vale para o contradomínio em $\mathbb{R}^n$.Note que $g'(t) \geq 0$. Então, acho que dá pra demonstrar primeiro, para $f = g'$:
\begin{equation*}
|g'(1) - g'(0)| \leq g(1) - g(0).
\end{equation*}- AAndré Caldas @andrecaldas
Isso tá certo? A minha última inequação, para o caso $g'(0) = 0$, está dizendo que a velocidade final não pode ser maior que a velocidade média!
- AAndré Caldas @andrecaldas
Por exemplo, tome
\begin{equation*}
f(t) = t \quad\text{e}\quad g(t) = \frac{1}{2} t^2.
\end{equation*}Então, $|f(t)| = g'(t)$. Mas
\begin{equation*}
f(1) - f(0) = 1 > 1/2 = g(1) - g(0).
\end{equation*}
Isso prova que o exercício está errado, né? Ou eu tô falando bobagem?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasEu acho que mostra mesmo. Será que era pra ser
$|f(1) - f(0)| \leq g'(1) - g'(0)$
ao invés de
$|f(1) - f(0)| \leq g(1) - g(0)$?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu acho que é pra ser $|f'(x)| \leq g'(x)$.
E aí, usando o funcional linear, fica muito fácil. Considere o funcional
\begin{align*}
\varphi: E &\rightarrow E
\\
\vec{v} &\mapsto \vec{v} \cdot \frac{f(1) - f(0)}{\|f(1) - f(0)\|}.
\end{align*}
Estou usando $E = \mathbb{R}^n$.Como é um funcional linear, $(\varphi \circ f)'(t) = \varphi(f'(t))$. Note também que,
\begin{equation*}
|(\varphi \circ f)'(t)| \leq |f'(t)| \leq g'(t).
\end{equation*}
Então,
\begin{align*}
\|f(1) - f(0)\| &= \varphi(f(1) - f(0))
\\
&= \varphi(f(1)) - \varphi(f(0))
\\
&=\int_0^1 (\varphi \circ f)'
\\
&\leq\int_0^1 |(\varphi \circ f)'|
\\
&\leq \int_0^1 g' = g(1) - g(0).
\end{align*}- Caio Tomás de Paula @CaioTomas
Faz mais sentido mesmo!
- Em resposta aandrecaldas⬆:MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Será que seria possível mostrar que $f$ é uniformemente contínua de algum modo?
Dessa forma, usando a compacidade e conexidade do $[0,1]$ seria possível mostrar que $X = [0,1]$.
A ideia seria: seja $a \in X$ e $x \in (0,1)$. Então,
$$|f(x) - f(0)| \leq |f(x) - f(a)| + |f(a) - f(0)|.$$
poderíamos minimizar $|f(x) - f(a)|$ usando apenas a continuidade fazendo $|x-a| < \delta$ e teríamos $x \in X$ para algum $\delta > 0$ adequado. Com a continuidade uniforme, poderíamos mostrar que $[0,a] \subseteq X$ pois poderíamos considerar uma subcobertura finita de $[0,a]$ por bolas do tipo $B_\delta(y)$, onde, para cada $x$ que mostramos que está em $X$, temos $y \in X$ se $x\in B_\delta(y)$ (neste ponto, acho que a continuidade não é suficiente). Por um argumento semelhante mostraríamos que qualquer ponto limite de uma sequência de pontos de $X$ está em $X$ (então $X$ é fechado) e segue da conexidade de $[0,1]$ que $X = [0,1]$.
Faz sentido isso?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. Toda função contínua saindo de $[0,1]$ e indo pra um espaço métrico é uniformemente contínua.
Dado $\varepsilon > 0$, para cada $a \in [0,1]$, escolha $\delta_a > 0$ tal que
\begin{equation*}
| x - a | < \delta_a \Rightarrow | f(x) - f(a) | < \varepsilon / 2.
\end{equation*}
Como as bolas $B(a; \varepsilon_a / 2)$ cobrem $[0,1]$, pela compacidade, existe uma subcobertura finita. Ou seja, existem $a_1, \dotsc, a_n \in [0,1]$ tais que todo ponto de $[0,1]$ está $\frac{\delta_{a_j}}{2}$-próximo de algum dos $a_j$. Faça $\delta = \min(a_1, \dotsc, a_n) / 2$. Então, dados $x, y \in [0,1]$ com $d(x,y) < \delta$, escolha $a_j$ com
\begin{equation*}
d(x,a_j) < \delta_{a_j} / 2.
\end{equation*}
Então, $d(y, a_j) < \delta_{a_j}$. Ou seja,
\begin{equation*}
| f(x) - f(y) | < | f(x) - f(a_j) | + | f(y) - f(a_j) | < \varepsilon.
\end{equation*}- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Massa! Obrigado
- Em resposta aandrecaldas⬆:MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Fiz uma demonstração assim:
Seja $\varepsilon > 0$ e
$$X = {t \in [0,1] : |f(t) - f(0)| \leq h(t,\varepsilon)},$$
onde $h(t,\varepsilon) = g(t) - g(0) + (1 + t)\varepsilon$. Observe que, como $g'(t) \geq 0$, temos $h$ não decrescente em $t$. $X$ não é vazio, pois $0 \in X$.Seja $x \in (0,1]$. Dado $\xi > 0$, existe $\delta > 0$ tal que
$$|x - 0| < \delta \implies |f(x) - f(0)| < \xi.$$
Em particular, podemos fazer $|f(x) - f(0)| \leq h(x, \varepsilon)$. Isto mostra que $x \in X$ se $x \in (0, \delta)$. Sendo agora $y \in (x, x + \delta)$, então $|f(x) - f(y)| < \xi$, já que $f$ é uniformemente contínua. Usando que$$ |f(y) - f(0)| \leq |f(y) - f(x)| + |f(x) - f(0)| \leq \xi + h(x,\varepsilon) \leq \xi + h(y,\varepsilon) $$
e, sendo $\xi$ arbitrário, temos $y \in X$.
Agora $[0,1]$ é compacto, então admite uma subcobertura finita por bolas do tipo $B_\delta(y)$ com $y \in [0,1]$. Isto mostra que $X = [0,1]$. Como $\varepsilon$ é arbitrário, segue o resultado tomando $\varepsilon \to 0$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Mas você tá usando que $|f(t)| \leq g'(t)$ ou $|f(t)| \leq g(t)$?
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Usando $g'(t) \geq |f(t)| \geq 0$. Mas só usei mesmo que $g'(t) \geq 0$.
- Em resposta aMatheusFSouza⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que essa parte de
sendo $\xi$ arbitrário, temos $y \in X$
não está correta, não.Quando você definiu $X$, definiu para um $\xi$ específico.
Quando escolheu $x \in X$, escolheu para um $\xi$ específico. Se mudar o $\xi$, esse $x$ já não serve mais.
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Entendo, realmente essa parte parece estranha. Mas, por conta da continuidade uniforme, eu não poderia ajustar o $\delta$ de uma maneira conveniente?
Pois, dessa forma, eu diminuiria o $\xi$ de maneira uniforme também.
Além disso, o $\xi$ independe de $\varepsilon$, que eu usei pra definir $X$
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não. Esse exercício, eu acho que está errado. Acho que a intensão é que $|f'(x)| \leq g'(x)$.
Veja os comentários acima.
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Beleza