Exercício 4(d) - Capítulo 5 (livro Elon)
Nesse item, consideramos um aberto conexo $U\subset\mathbb{R}^m$, um fechado enumerável $D$ de $U$ e o seu complementar, $A = U\setminus D$.
Queremos mostrar que dada $f:A\to\mathbb{R}^n$ diferenciável em $A$ com $|f'(x)|\leq M$ para todo $x\in A$, vale que
$d_A(x,y) = |x-y|$, sendo $d_A$ a distância geodésica (definida no item (a)) e $|\cdot|$ a métrica usual.
Eu pensei em usar o item (b), mas $A$ não é conexo (tiramos um conjunto enumerável $D$ de pontos de $U$, que era conexo).
Sugestões? :-)
- AAndré Caldas @andrecaldas
Se não for conexo, não é uma métrica! A métrica só está definida para conjuntos conexos.
Se $m = 1$, realmente, não é conexo. E se $m > 1$, será que não é conexo?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasEu li conexo e pensei em simplesmente conexo! xD
- Em resposta aandrecaldas⬆:MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Eu acho que se $D$ for, de algum modo, denso em $U$, então podemos ter problema quanto à conexidade de $A$. Por exemplo, se $D$ for da forma $U \cap \mathbb{Q}^m$. Mas $D$ ser fechado impede isso, o problema é que não entendi como $D$ ser fechado impede esse tipo de problema em geral.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que se $U \subset \mathbb{R}^m$ ($m \geq 2$) for aberto e conexo, então $U \cap \mathbb{Q}^m$ também é conexo. $D$ precisa ser fechado para que $A = U \setminus D$ seja aberto.
Acho que pra mostrar que $A$ é conexo, você pode fazer o seguinte:
- Escolha um ponto $a \in A$.
- Pelo ponto $a$ passa uma quantidade NÃO enumerável de retas.
- Como o único ponto em comum entre essas retas é $a$, e $D$ é enumerável, existe uma reta $R$ passando por $a$, tal que $R \cap D = \emptyset$.
- Tome um ponto qualquer $b \in A$.
- Como existe uma quantidade não enumerável de pontos em $R$, existe $c \in R$ tal que a reta $S$, que liga $b$ e $c$, tal que $S \cap D = \emptyset$.
- Assim, construímos um caminho em $A$ (uma função contínua de $[0,1]$ em $A$), que liga $a$ e $b$.
Assim, podemos concluir que $A$ é conexo... (tem que fazer os detalhes).
Não sei se tem uma maneira mais fácil... :-)
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Beleza, vou ver se consigo mostrar assim. O problema que eu vejo é que , se $D$ é denso, então dado qualquer segmento de reta $[x,y]$ ligando dois pontos de $U$, então tem um ponto de $D$ no segmento aberto $(x,y)$. (Pelo menos isso é intuitivo para mim)
O que me ocorreu agora é que, se $D$ é fechado e diferente de $U$, então $D$ não pode ser denso em $U$ se você usa a definição de densidade:
"$D$ é denso em $U$ se $\overline{D} = U$"
já que $\overline{D} = D$. Faz sentido isso?
- AAndré Caldas @andrecaldas
A parte "intuitiva" não está correta, porque o segmento aberto $(x,y)$ não é aberto. :-)
A parte de ser denso está correta. Se $D$ é fechado e denso, então $D$ é "tudo".
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Beleza, obrigado