Dúvida na demonstração da Desigualdade do Valor Médio!
Estou tendo problemas com a demonstração da desigualdade do valor médio no nosso livro texto (página 35 - Teorema 5.1). Esse conjunto $X$
\begin{equation}
X = \{t \in [0,1]; |\phi(s) - \phi(0)| \leq (M + \varepsilon)s\ \text{para todo}\ s \in [0,t]\}
\end{equation}
serve para mostrar os possíveis valores que $t$ tomaria satisfazendo a desigualdade acima? No final, a contradição vem de que $\alpha + h$ está em $X$ para todo $0 \leq h < \delta$, ou seja, $X$ não é fechado?
Obs.: as chaves para definir conjuntos não estão saindo aqui no ambiente matemático.
- AEm resposta ameiritos⬆:André Caldas @andrecaldas
Se $[0,t] \subset X$, com $t \neq 1$, então, o argumento mostra que existe $\delta$ tal que
\begin{equation*}
[0,t+\delta) \subset X.
\end{equation*}
Como $X$ é fechado,
\begin{equation*}
[0,t+\delta] \subset X.
\end{equation*}Pra mim, isso lembra um pouco um paradoxo de Zenão.