Exercício 3 - Cap. 5 (livro Elon)
Por @vitoriacarvalho
Neste exercício, temos que mostrar que se $f'(x)$ é injetiva em todos os pontos de um compacto K, contido em um U aberto, então existem $c>0, \delta>0$ tais que $|f(x+h)-f(x)|\geq c|h|$ quaisquer que sejam $x \in K$ e $|h|< \delta$. Alguém tem alguma sugestão?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que a maior parte está feita na proposição 5.1. Lá, você tem um $c_x$ para cada ponto $x$. Então, imagino que você tenha que usar duas coisas:
- A continuidade da aplicação $Df: U \rightarrow \mathscr{L}(\mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n)$ (é isso o que significa ser $C^1$).
- A compacidade (junto com a continuidade) pra mostrar que esse $c_x$ assume um valor mínimo em $K$.
Pense na esfera $S \subset \mathbb{R}^m$. Será que a aplicação
\begin{align*}
g: K \times S &\rightarrow \mathbb{R}
\\
(x, \vec{v}) &\mapsto Df(x)\vec{v}
\end{align*}
é contínua? Se for, ela assume um mínimo.