Exercício 10 - Capítulo 2 (livro Elon)
No exercício 10, pede-se o seguinte:
Se $f:U\to\mathbb{R}$ é diferenciável num aberto limitado $U\subset\mathbb{R}^m$ e $\forall a\in\overline{U}\setminus U$ temos $\displaystyle{\lim_{x\to a} f(x) = 0}$, então existe $x_0\in U$ tal que $f'(x_0) = 0$.
Isso me parece uma generalização do teorema de Rolle: se sua função vai a zero "nos extremos" do domínio, então em algum momento a derivada se anula.
O resultado me parece razoavelmente intuitivo, pois a condição de que o limite de $f$ vá a $0$ nos pontos de acumulação impede que $f$ (de)cresça indefinidamente e força a existência desse ponto com derivada nula (pra um exemplo, pensei no caso de $U$ com dimensão 1: a sua função teria que "ir e voltar para o eixo real", e isso, visualmente, faz aparecer uma máximo).
Mas estou empacado para demonstrar o resultado! Alguém tem ideias? :-)
- AEm resposta aCaioTomas⬆:André Caldas @andrecaldas
Acho que o enunciado diz que $f$ pode ser estendida continuamente para $\tilde{f}: \overline{U} \rightarrow \mathbb{R}$, definindo $f(a) = 0$, quando $a \in \overline{U} \setminus U$.
Acho que você pode demonstrar a questão, exatamente como fazemos com o teorema do valor médio para $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$.
Note que $\tilde{f}$ é contínua e está definida em um compacto. Então, assume valores de máximo e mínimo. Se os valores máximo e mínimo de $\tilde{f}$ forem ambos iguais a $0$, então $\tilde{f}$ é constante, e portanto, $Df(x) = 0$ para todo $x \in U$.
Caso contrário, $\tilde{f}$ assume um valor extremo diferente de $0$. Ou seja, existe $x_0 \in U$ tal que $f(x_0)$ é extremo. Mas se é extremo, então as derivadas direcionais devem ser todas iguais a $0$. Ou seja, como $f$ é diferenciável em $x_0$, $Df(x_0) = 0$.
Para ver que $\partial_{\vec{v}}f(x_0)$ é sempre zero, basta perceber que $t = 0$ é um ponto extremal de $t \mapsto f(x_0 + t\vec{v})$, que é uma função de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$, diferenciável em $t = 0$.