Exercício 7 - Capítulo 2 (livro Elon)

Puxa, que exercício difícil! Será que tem um jeito fácil? Eu só sei, usando a regra da cadeia, que é assunto do capítulo 4.

Como você já colocou, o conjunto das matrizes simétricas (vamos chamá-lo de $\mathrm{sym}(n)$) sempre satisfaz
\begin{equation*}
\mathcal{Im}(Df(X)) \subset \mathrm{sym}(n).
\end{equation*}
Então, tudo o que precisamos fazer, é mostrar que a dimensão da imagem de $Df(X)$, para $X$ ortogonal, é igual à dimensão de $\mathrm{sym}(n)$.

Em $X = I$, a resposta é fácil! A imagem de $Df(I)$ é composta exatamente pelas matrizes simétricas. De fato, se $S$ é simétrica, então
\begin{equation*}
Df(I)(S/2) = S/2 + S^t/2 = S.
\end{equation*}

Um truque é pensar na multiplicação à direita por $X$:
\begin{equation*}
\varphi_X: A \mapsto AX.
\end{equation*}
Essa multiplicação à direita é uma transformação linear. Portanto, $D\varphi_X(\cdot) = \varphi_X$.

Por sorte, para $X$ ortogonal,
\begin{equation*}
f(\varphi_X(A)) = AXX^tA^t = AA^t = f(A).
\end{equation*}
Ou seja, $f \circ \varphi_X = f$.

Então, para $X$ ortogonal,
\begin{equation*}
Df(I) = D(f \circ \varphi_X)(I) = Df(X) \circ D\varphi_X(I) = Df(X) \circ \varphi_X.
\end{equation*}
como $\varphi_X$ é uma bijeção, então a dimensão da imagem de $Df(I)$ é igual à dimensão da imagem de $Df(X)$. CQD.

Indo um pouco além (o segredo do truque)

(leitura opcional)

A ideia é a seguinte:

1. As matrizes ortogonais são aquelas que satisfazem a equação
   \begin{equation*}
   f(X) = I.
   \end{equation*}
   Então, o conjunto das matrizes ortogonais é como se fosse uma superfície dentro do conjunto das matrizes. Não chamamos de superfície. Chamamos de variedade diferenciável.
2. O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal. E a inversa, também. Então, esse conjunto, das matrizes ortogonais forma um grupo. Esse grupo é chamado de $\mathrm{SO}(n)$. Dizemos que é um grupo de Lie.

O espaço tangente à $\mathrm{SO}(n)$ na identidade, é justamente o conjunto das matrizes antissimétricas (chamado de $\mathrm{so}(n)$). São as direções $H$ para as quais $Df(I)H = 0$. Ou seja,
\begin{equation*}
H + H^t = 0.
\end{equation*}
Em todos os pontos da superfície $\mathrm{SO}(n)$, o espaço tangente tem a mesma dimensão. Demonstramos isso utilizando a multiplicação à direita $\varphi_X$.