Dizemos que uma função
$$
f:E \to F
$$ entre espaços normados (métricos/topológicos) é sequencialmente contínua no ponto $a\in E$ quando
$$
x_n \to a \implies f(x_n)\to f(a).
$$ Defina continuidade no ponto $a\in E$ para uma função $f:E \to F$ entre espaços normados (métricos/topológicos) e mostre que, em espaços normados (métricos), ambos os conceitos são equivalentes.
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Uma função $f: E \to F$ é contínua em $a \in E$ se, dado qualquer aberto $U$ contendo $f(a)$, temos que $f^{-1}(U)$ aberto em $E$.
Vamos mostrar que $f$ é contínua em $a$ se, e somente se, é sequencialmente contínua em $a$.
Suponha que ela é contínua e seja $U$ um aberto contendo $f(a)$, então $f^{-1}(U)$ é aberto contendo $a$. Seja ${x_n}$ uma sequência em $E$ que converge para $a$. Então existe $N \in \mathbb{N}$ tal que
$$n \geq N \implies x_n \in f^{-1}(U).$$
De outro modo,
$$n \geq N \implies f(x_n) \in U$$
e concluímos que ${f(x_n)}$ converge para $f(a)$. Logo, $f$ é sequencialmente contínua em $a$.Suponha, agora, que ela é sequencialmente contínua em $a$. Somente neste argumento é que usaremos o fato de que $E$ é um espaço métrico. Suponha, por contradição, que $f$ é descontínua em $a$, então existe um aberto $U$ contendo $f(a)$ tal que $f^{-1}(U)$ não é aberto. Ou seja, existe um $a \in f^{-1}(U)$ tal que, para todo $\varepsilon > 0$, $B_\varepsilon(a) \not \subseteq f^{-1}(U)$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, escolha $x_n \in B_{1/n}(a)$ que está fora de $f^{-1}(U)$. Então $x_n \to a$, mas $f(x_n) \not \to f(a)$, pois, para todo $n$ temos $f(x_n) \not \in U$. Por esta contradição, concluímos que, se $f$ é sequencialmente contínua em $a$, deve ser também contínua em $a$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Essa definição de continuidade em $a$ não parece estar correta. A função
\begin{align*}
f: \mathbb{R} &\rightarrow \mathbb{R}
\\
x &\mapsto \begin{cases}0,& x \in \mathbb{Q} \\ x,& x \not \in \mathbb{Q}\end{cases}
\end{align*}
é contínua em $0$. Mas
\begin{equation*}
f^{-1}\left((-1,1)\right) = (-1,1) \cup \mathbb{Q}
\end{equation*}
não é aberto.- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
De fato, minha definição está errada. Percebi que (num caso hipotético) pode ocorrer algo como $y \in F$ ser um ponto tal que $f(a) = y = f(b)$ e, dado $U$ um aberto contendo $y$, pode ocorrer que $f^{-1}(U)$ seja uma união disjunta $\{b\} \cup A$, onde $A$ é um conjunto contendo $a$. Que é mais ou menos o que acontece no contra-exemplo que deu. Acho que a definição correta seria:
$f$ é contínua em $a$ se, para toda bola $B$ centrada em $f(a)$, existe uma bola $D$ centrada em $a$ tal que $f(D) \subseteq B.$
Está certo agora?
Talvez minha definição funcionasse para funções injetivas :D. Vou postar a solução com correções abaixo.
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Uma função $f: E \to F$ é contínua em $a$ se, para toda bola $B$ centrada em $f(a)$, existe uma bola $D$ centrada em $a$ tal que $f(D) \subseteq B.$
Vamos mostrar que $f$ é contínua em $a$ se, e somente se, é sequencialmente contínua em $a$.
Suponha que ela é contínua e seja $B$ uma bola centrada em $f(a)$, então há uma bola $D$ centrada em $a$ tal que $f(D)\subseteq B$. Seja $\{x_n\}$ uma sequência em $E$ que converge para $a$. Então existe $N \in \mathbb{N}$ tal que
$$n \geq N \implies x_n \in D.$$
De outro modo,
$$n \geq N \implies f(x_n) \in f(D) \subseteq B$$
e concluímos que ${f(x_n)}$ converge para $f(a)$. Logo, $f$ é sequencialmente contínua em $a$.Suponha, agora, que ela é sequencialmente contínua em $a$. Suponha, por contradição, que $f$ é descontínua em $a$, então existe uma bola $B$ centrada em $f(a)$ tal que, para todo $\varepsilon > 0$, $f(B_\varepsilon(a)) \not \subseteq B$. Para cada $n \in \mathbb{N}$, escolha $x_n \in B_{1/n}(a)$ que está fora de $f^{-1}(B)$. Então $x_n \to a$, mas $f(x_n) \not \to f(a)$, pois, para todo $n$ temos $f(x_n) \not \in B$. Por esta contradição, concluímos que, se $f$ é sequencialmente contínua em $a$, deve ser também contínua em $a$.
- Em resposta aMatheusFSouza⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
É apanhando que se aprende, mesmo! Parabéns por ter tomado a iniciativa de responder o problema. Espero que tenha sido bem proveitoso!
Da forma que você colocou está bom. Outras alternativas para a continuidade no ponto $a$ são:
- Para toda vizinhança de $f(a)$, $V \in \mathcal{V}(f(a))$, $f^{-1}(V)$ é vizinhança de $a$.
- Para todo aberto contendo $f(a)$, $A \in \tau(f(a))$, $f^{-1}(A)$ é vizinhança de $a$.
- Para toda bola centrada em $f(a)$, $B \in \mathcal{B}(f(a))$, $f^{-1}(B)$ é vizinhança de $a$.
E aqui, vizinhança de $a$ pode ser entendido como:
- Contém uma bola centrada em $a$.
- Contém um aberto que contém o ponto $a$.
- Em resposta aMatheusFSouza⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Não funciona para funções injetivas. Basta colocar $-x$ onde eu coloque $0$, no meu contraexemplo.