Em uma das aulas (esqueci qual exatamente, mas acho que foi a S01A04 -- compacidade sequencial), o professor mencionou que os limites em espaços métricos são únicos, ou seja, não podemos ter $x_n \to a$ e $x_n \to b$ com $a\neq b$. Qual seria uma possível demonstração desse fato? (Dica: pense no limite em termos da sequência entrar em bolas).
Uma segunda pergunta aparentemente besta é: sempre que uma sequência converge para $a$ e para $b$, então $a = b$? (dê uma pesquisada rápida e se surpreenda :-) )
PS: eu não havia visto que o exercício 8 da Lista 1/01 é a primeira parte do meu post xD. Vou deixar como está, mas a minha pergunta simples agora é a segunda :-)
- NCaio Marques @negred
Vale lembrar que uma métrica em um conjunto $X$ é uma função $d \colon X \times X \to \mathbb{R}$ que satisfaz, $\forall \ u,v,w \in X$, as seguintes propriedades:
\begin{array}{l}
\text{M1})\ d(u,v) \geqslant 0;\\ \text{M2})\ d(u,v) = d(v,u);\\ \text{M3})\ d(u,w) \leqslant d(u,v) + d(v,w);\\ \text{M4})\ d(u,v) = 0 \iff u = v.
\end{array}Uma sequência $(x_{k})$ em um espaço métrico $X = (X,d)$ possui limite igual a $x$ se $\exists \ m \in \mathbb{N}$, uma vez dado $\varepsilon > 0$, tal que \[ d(x_{j},x) < \varepsilon ,\]
$\forall \ j > m$.Façamos a demonstração. Por hipótese, valem as convergências $x_{n} \to a$ e $x_{n} \to b$. Se $a = b$, então não há o que mostrar. Suponhamos agora $a \neq b$. Vamos mostrar que há uma contradição. De fato, se $x_{n} \to a$ e $x_{n} \to b$, então $\exists \ l_{1},l_{2} \in \mathbb{N}$ dado $\varepsilon > 0$ tais que
\begin{equation*}
\begin{array}{lcr}
d(x_{j},a) < \varepsilon ; & \mbox{e} & d(x_{k},b) < \varepsilon ,
\end{array}
\end{equation*}
$\forall \ j > l_{1}$ e $\forall \ k > l_{2}$. Tomando $\varepsilon = \frac{d(a,b)}{2}$, tem-se que $\varepsilon > 0$, pois $a \neq b \overset{\text{M1,M4}}{\implies} d(a,b) > 0$. Além disso, $\forall \ m > \max \{ l_{1},l_{2} \}$, vale que \[ d(x_{m},a) + d(x_{m},b) < \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon = 2 \cdot \frac{d(a,b)}{2} = d(a,b).\] No entanto, como \[ d(a,b) \overset{\text{M2,M3}}{\leqslant} d(x_{m},a) + d(x_{m},b),\] obtém-se que \[ d(x_{m},a) + d(x_{m},b) < d(a,b) \leqslant d(x_{m},a) + d(x_{m},b),\] um absurdo. Logo $a = b$, concluindo a demonstração.- AAndré Caldas @andrecaldas
Que bacana esse $M2$ e $M3$ em cima do $\leq$!!! :-)
- Em resposta anegred⬆:
Caio Tomás de Paula @CaioTomasAcho que um resumo legal da ideia do argumento seria assim:
Suponha $a\neq b$ e tome $0 < \varepsilon < d(a,b)/2$. Por hipótese, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para todo $n\geq N$ temos $x_n \in B_{\varepsilon}(a)$ e $x_n\in B_{\varepsilon}(b)$. Ora, mas $B_{\varepsilon}(a)\cap B_{\varepsilon}(b) = \varnothing$ pela escolha de $\varepsilon$, absurdo. Portanto, $a=b$.
- AEm resposta aCaioTomas⬆:André Caldas @andrecaldas
No contexto do nosso curso, os limites são sempre únicos. Mas se considerarmos situações mais gerais, por exemplo, \emph{semi-normas}, então, o limite pode não ser único.
Uma semi-norma é tal que $|\vec{a}| = 0 \not \Rightarrow \vec{a} = \vec{0}$.
Por exemplo, em $\mathbb{R}^2$, se
\begin{equation*}
\|(x, y)\| = |x|,
\end{equation*}
então
\begin{equation*}
(1/n, 3) \rightarrow (0,3)
\quad\text{e}\quad
(1/n, 3) \rightarrow (0,47).
\end{equation*}