exercício 4, capítulo 7
Dado um aberto $U\in \mathbb{R^m}$, uma função $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ é de classe $C^{\infty}$ se, e somente se, existem e são contínuas todas as derivadas mistas:
$${\partial{^k}f \over {\partial x^{i_1}...\partial x^{i_k}}} : U \rightarrow \mathbb{R} $$
Gostaria de pensar nessa questão primeiro com $f \in C^{k}$. Como eu provo para $f \in C^{k}$ ? estou com dificuladades principalmente na escrita.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Se provar para $C^k$, com um $k$ qualquer, a demonstração termina. Pois $C^\infty$ significa $C^k$ para todo $k$.
Mostre primeiro para $C^2$, e poste aqui.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Dá para fazer de forma semelhante ao teorema 7. 1 certo ?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Você só precisa usar o teorema.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Então, basta observar que $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ é de classe $C^2$ se, e somente se, $f^{(1)}$ é de classe $C^1$, e com isso usamos o teorema 7.1. Portanto as derivadas parciais existem e são continuas. É isso?
- AAndré Caldas @andrecaldas
As derivadas parciais de primeira ordem constantes implicam que $Df$ existe e é contínua em todo ponto. Agora, você precisa relacionar as derivadas parciais de segunda ordem com $Df$. O que você sabe é que se $\partial_j (Df)$ for contínua para todo $j$, então $D^2f$ existe e é contínua. Qual é a relação entre $\partial_j Df$ e $\partial_{jk}f$?
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Professor, contínuo com dificuldades de escrever o que deve ser escrito.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Escreva $D^2f(a)$ em coordenadas:
\begin{align*}
D^2f(a): \mathbb{R}^m &\rightarrow \mathscr{L}(E; \mathbb{R})
\\
(v_1, \dotsc, v_m) &\mapsto ????.
\end{align*}
- Em resposta aandrecaldas⬆:Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
não sei se fará sentido o que irei fazer, mas, lá vai:
$f \in C^2 \longleftrightarrow \partial{_j}Df \in C^1$
$\partial_j Df \in C^1 \longleftrightarrow \partial{_k} (\partial{_j} Df)$- AAndré Caldas @andrecaldas
Está (quase) correto. Acho que você quis dizer $\partial_k (\partial_j f)$. E faltou o $\in C^0$.
Mas o que fica faltando mesmo, é entender qual é a relação entre $Df$ e $\partial_j f$, pra você poder mostrar a implicação dessa última linha.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Ainda não consegui relacionar $Df$ com $\partial_{j}f$.
- Em resposta ahildefonso⬆:Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
isso que eu disse aqui está certo, professor?
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
tenho mais uma dúvida também professor. A função $f:U \rightarrow \mathbb{R}$, o $\mathbb{R^m}$ é para ser decomposto em uma soma dirteta do tipo: $R^m=E_1\oplus ...\oplus E_r$?
- AAndré Caldas @andrecaldas
\begin{align*}
\mathbb{R}^m &= \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \oplus \cdots \oplus \mathbb{R}
\\
\mathbb{R}^m &= \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}^{m-1}
\end{align*}