exercício 3, capítulo 7
- Enuncie precisamente e demonstre o seguinte: se uma função de duas variaveis possui derivadas parciais limitadas na vizinhança de um ponto, ela é continua no ponto. Generalize este resultado.
Professor, tentei resolver essa questão de forma semelhante ao teorema 7.1, porem, não obtive sucesso. Pois, devo mostrar que a função dada no exercício é contínua. Como posso fazer isso. E gostaria de saber tambem se em algum momento eu devo usar a desigualdade do valor medio
- AAndré Caldas @andrecaldas
Uma primeira ideia...
... será que você consegue reduzir o problema? Será que sem perda de generalidade você não consegue assumir que ambas as derivadas parciais são iguais a $0$?
- AEm resposta ahildefonso⬆:André Caldas @andrecaldas
Acho que é só fazer $(h, k) \rightarrow (0,0)$ na inequação monstro (porque não usou SPG) do começo da demonstração do teorema 7.1.
O fato de as derivadas parciais serem limitadas faz com que
\begin{equation*}
\dotsb
\leq
(|h| + |k|) M,
\end{equation*}onde $M$ é um limitante superior para as derivadas parciais. E isso vai pra zero quando $h$ e $k$ vão pra zero.- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Beleza professor. Acho que consegui concluir a demonstração.
Só uma observação. Na inequaçãoi ele usou o corolario 2 da desigualdade do valor médio. Nesse caso, agora digo da questao 3 do capitulo 7, pode-se usar a desigualdade do valor intermediário?- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que não. A desigualdade do valor intermediário só dá pra usar quando as funções são contínuas. Acho que eu faço um comentário sobre isso nos primeiros vídeos que falo sobre a desigualdade do valor médio. Acho muito bacana que você se faça essas perguntas. Os teoremas que estudamos começam a fazer muito mais sentido quando conseguimos perceber porque é que o resultado não é tão simples... qual é a dificuldade que precisa ser contornada.
Pra mim, a desigualdade do valor médio é algo que a gente usa no lugar do teorema do valor intermediário quando sabemos que a função é diferenciável, mas não sabemos que a derivada é contínua.
- Em resposta aandrecaldas⬆:Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Então eu resolvo essa questão escrevendo f com a parte constante, a linear e o resto, depois usso o fato das derivadas parciais serem limitadas?
Sobre esse M, ele é o mesmo para a derivada em relação a primeira variável e a segunda variável?- AAndré Caldas @andrecaldas
O $M$ é uma cota superior. Você poderia tomar uma cota superior $M_1$ pra um, e uma cota $M_2$ pro outro. Mas então, é só tomar $M > \max (M_1, M_2)$.
Então eu resolvo essa questão escrevendo f com a parte constante, a linear e o resto, depois usso o fato das derivadas parciais serem limitadas?
Sim. Sua conclusão será que
\begin{equation*}
f(x,y) - f(a,b) - \partial_1f(a,b)h - \partial_2 f(a,b)k
\end{equation*}
é uma função contínua. Mas $f(a,b)$ é constante e portanto contínua. As derivadas parciais no ponto $(a,b)$ são contínuas pela definição de derivada (parcial).