questão 4 capítulo 6
Seja $U \subset \mathbb{R^m}$ aberto conexo. Dada uma sequência de aplicações $f_n: U \rightarrow \mathbb{R^n}$ de classe $C^{\infty}$, suponha que a série $\sum f_n(x)$ converge num ponto $x_0 \in U$ e que , para cada $i=1,2,...,$ a serie das derivadas $\sum_n f_n^{(i)}(x)$ converge local-uniformemente em $U$. Conclua que $f= \sum_n$ é uma aplicação $C^{\infty}$ em $U$. Aplique este resultado para concluir que $exp: \mathcal{L}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{L}(\mathbb{R^m})$, definida por $exp(X) = \sum_{n=0}^{\infty} {X^n\over n!} $, é de classe $C^{\infty}$. (Use o exercício 5 do capítulo 3 ou o exercício 7 do capitulo 4.) não estou conseguindo provar professor. Tem a porposição 6.6 do capítulo 6, porém mal consegui entender a demonstração dela.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Acho que é pra você calcular a integral
\begin{equation*}
\int_{x_0}^x \sum_n f_n^{(i)}.
\end{equation*}
Como a convergência é localmente uniforme, você pode passar o somatório pra fora da integral. Acho que a ideia é concluir que
\begin{equation*}
\left(\sum_n f_n^{(i-1)}\right)'
=
\sum_n f_n^{(i)}.
\end{equation*}- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Professor. Calculei aqui, porém, ainda não entendi como concluir o que ele me pede.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Vamos denotar por $g$ a função
\begin{equation*}
g(x) = \sum f_n(x).
\end{equation*}
Então,
\begin{align*}
\int_{x_0}^x \sum f_n^{(i)}
&=
\sum \int_{x_0}^x f_n^{(i)}
\\
&=
\sum \left(f_n^{(i-1)}(x) - f_n^{(i-1)}(x_0)\right)
\\
&=
\sum f_n^{(i-1)}(x) - \sum f_n^{(i-1)}(x_0).
\end{align*}
Por um processo de indução, podemos concluir que o último termo da equação é igual a $g^{(i-1)}(x) - g^{(i-1)}(x_0)$. Portanto,
\begin{equation*}
g^{(i)} = \left(g^{(i-1)}\right)' = \sum f_n^{(i)}.
\end{equation*}
Ou seja, derivar a soma, com essas hipóteses do exercício, é o mesmo que somar as derivadas.Se a função $\exp$ se encaixa no enunciado do exercício, então podemo concluir que a derivada pode ser feita termo a termo, e que portanto,
\begin{equation*}
\exp'(x) = \exp(x),
\end{equation*}
pois
\begin{equation*}
\left(\frac{1}{n!} X^n\right)'
=
\frac{n}{n!} X^{n-1}
=
\frac{1}{(n-1)!} X^{n-1}.
\end{equation*}