questão 8 capítulo 6

2022-04-13 22:54:53.745Z2022-04-14 04:11:09.983Z

Dada $f : [a, b] \times [c, d] \to R^{n}$ limitada, defina
$lim_{| P |, | Q | \to 0} \sum (f; P, Q) = lim_{P, Q} \sum (P, Q) .$
Prove que se existe este limite e se, para cada partição $Q$ de $[c, d]$ , existe $lim_{P} \sum (P, Q)$ , então existe o limite repetido $lim_{Q} (lim_{P} \sum (P, Q))$ , o qual é igual ao limite duplo $lim_{P, Q} \sum (P, Q)$ .

Não consegui fazer este exercício, Gostaria de saber como fazer.

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11 respostas

A
André Caldas @andrecaldas
2022-04-14 04:20:52.333Z
Seja
$\begin{aligned} a & = lim_{P, Q \to 0} \sum (f; P, Q) \\ q (P) & = lim_{Q \to 0} \sum (f; P, Q) . \end{aligned}$
Tome $ε > 0$ , qualquer. Então, existe $δ > 0$ tal que
$| P | < δ e | Q | < δ \Rightarrow | a - \sum (f; P, Q) | < ε .$
Em particular, para $| P | < δ$ ,
$\begin{aligned} | a - q (P) | & = | a - lim_{Q \to 0} \sum (f; P, Q) | \\ = lim_{Q \to 0} | a - \sum (f; P, Q) | \\ \leq ε . \end{aligned}$
Mas isso é o mesmo que dizer que
$lim_{P \to 0} q (P) = a .$
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1. H hildefonso mendes cruz @hildefonso
  2022-04-14 15:23:14.199Z2022-04-14 16:32:34.083Z
  professor, uma das hipoteses é que $lim_{p} \sum (P, Q)$ existe para cada partição $Q$ .
  essa hipótese é o mesmo que
  $lim_{Q} \sum (P, Q) = q (P) ?$
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  A André Caldas @andrecaldas
  2022-04-14 16:33:07.428Z
  A hipótese é que o limite existe. Então, eu inventei um nome, e chamei esse limite de $q (P)$ . :-)
  
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  H hildefonso mendes cruz @hildefonso
  2022-04-14 17:05:52.974Z
  o que não fica claro pra mim professor é que, esse limite existe para qualquer partição $Q$ , mas, toma-se o limite com a norma da partição $P$ e na hipotese você esta tomando o limite com a norma de $Q$
  
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  A André Caldas @andrecaldas
  2022-04-14 17:19:27.124Z
  É porque eu troquei as bolas. :-)
  
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  H hildefonso mendes cruz @hildefonso
  2022-04-14 18:17:00.618Z
  Foi proposital ou foi sem querer kkk?
  
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  A André Caldas @andrecaldas
  2022-04-14 23:25:55.137Z
  Foi sem querer. Minha desculpa é que $lim_{P} lim_{Q} \sum (f; P, Q)$ está em ordem alfabética... então, é bem melhor. :-P
  
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  H hildefonso mendes cruz @hildefonso
  2022-04-14 23:57:25.745Z
  Então, professor, somente recapitulando para concluir. O senhor mostrou que $lim_{P} q (P) = a$ . Então, basta tomar o limite, com $Q \to 0$ dos dois lados da equação ?
  
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  A André Caldas @andrecaldas
  2022-04-15 00:02:28.080Z
  Não entendi a pergunta. Tem tanta equação...
  
  Primeiro você toma o limite em $Q$ (porque eu fiz diferente do enunciado). Depois você toma o limite em $P$ .
  
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  H hildefonso mendes cruz @hildefonso
  2022-04-15 00:06:45.662Z
  Desculpe professor, mas, eu me perdi um pouco. Não estou conseguindo entender a demonstração. não estou conseguindo concluir.
  
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  A André Caldas @andrecaldas
  2022-04-15 01:27:30.622Z
  Para todo $ε > 0$ existe $δ > 0$ tal que
  $| P | < δ \Rightarrow | a - q (P) | < ε .$
  Isso é o mesmo que dizer que $q (P) \overset{| P | \to 0}{\to}$ a$.
  
  Em outras palavras,
  $lim_{P} lim_{Q} \sum (f; P, Q) = a .$
  
  PS: Lembre-se que eu troquei os papéis de $P$ e $Q$ .
  
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