questão 8 capítulo 6
Dada $f:[a,b]\times [c,d] \rightarrow \mathbb{R^n}$ limitada, defina
\begin{equation*}
\lim_{|P|,|Q| \rightarrow 0} \sum (f; P,Q)= \lim_{P,Q} \sum (P,Q).
\end{equation*}
Prove que se existe este limite e se, para cada partição $Q$ de $[c,d]$, existe $\lim_{P}\sum(P,Q)$, então existe o limite repetido $\lim_{Q}(\lim_{P} \sum (P,Q))$, o qual é igual ao limite duplo $\lim_{P,Q}\sum(P,Q)$.
Não consegui fazer este exercício, Gostaria de saber como fazer.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Seja
\begin{align*}
a &= \lim_{P,Q \rightarrow 0} \sum(f; P, Q)
\\
q(P) & = \lim_{Q \rightarrow 0} \sum(f; P, Q).
\end{align*}
Tome $\varepsilon > 0$, qualquer. Então, existe $\delta > 0$ tal que
\begin{equation*}
|P| < \delta \text{ e } |Q| < \delta
\Rightarrow
\left|a - \sum (f; P, Q)\right| < \varepsilon.
\end{equation*}
Em particular, para $|P| < \delta$,
\begin{align*}
\left|a - q(P)\right|
&=
\left|a - \lim_{Q \rightarrow 0} \sum (f; P, Q)\right|
\\
&=
\lim_{Q \rightarrow 0} \left|a - \sum (f; P, Q)\right|
\\
&\leq
\varepsilon.
\end{align*}
Mas isso é o mesmo que dizer que
\begin{equation*}
\lim_{P \rightarrow 0} q(P)
=
a.
\end{equation*}- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
professor, uma das hipoteses é que $\lim_{p} \sum (P,Q)$ existe para cada partição $Q$.
essa hipótese é o mesmo que
$$\lim_{Q} \sum (P,Q) = q(P)?$$- AAndré Caldas @andrecaldas
A hipótese é que o limite existe. Então, eu inventei um nome, e chamei esse limite de $q(P)$. :-)
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
o que não fica claro pra mim professor é que, esse limite existe para qualquer partição $Q$, mas, toma-se o limite com a norma da partição $P$ e na hipotese você esta tomando o limite com a norma de $Q$
- AAndré Caldas @andrecaldas
É porque eu troquei as bolas. :-)
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Foi proposital ou foi sem querer kkk?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Foi sem querer. Minha desculpa é que $\lim_P \lim_Q \sum(f; P, Q)$ está em ordem alfabética... então, é bem melhor. :-P
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Então, professor, somente recapitulando para concluir. O senhor mostrou que $\lim_{P} q(P) = a$. Então, basta tomar o limite, com $Q \rightarrow 0$ dos dois lados da equação ?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não entendi a pergunta. Tem tanta equação...
Primeiro você toma o limite em $Q$ (porque eu fiz diferente do enunciado). Depois você toma o limite em $P$.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Desculpe professor, mas, eu me perdi um pouco. Não estou conseguindo entender a demonstração. não estou conseguindo concluir.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que
\begin{equation*}
|P| < \delta \Rightarrow \left|a - q(P) \right| < \varepsilon.
\end{equation*}
Isso é o mesmo que dizer que $q(P) \xrightarrow{|P| \rightarrow 0}$ a$.Em outras palavras,
\begin{equation*}
\lim_{P} \lim_{Q} \sum(f; P, Q) = a.
\end{equation*}
PS: Lembre-se que eu troquei os papéis de $P$ e $Q$.