Questao 1 do capitulo 6
- Seja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R^n}$ um caminho limitado, cujos pontos de descontinuidade formam um conjunto enumeravel. Prove que f é integrável.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Se você quiser, segunda-feira eu lhe mostro. Mas não acho que valha muito à pena insistir nisso. :-)
A ideia é pensar nos pontos em que a descontinuidade é um salto grande. Pontos onde a diferença entre o $\limsup$ e o $\liminf$ sejam maiores de um certo $\delta > 0$. Esse conjunto é fechado (tem que mostrar) e enumerável. Como é enumerável $\{a_1, a_2, \dotsc\}$, se você tomar uma bola centrada em cada ponto $a_j$ de raio $\frac{\delta}{2^j}$, terá uma "cobertura" de diâmetro menor que $\delta$. Como é fechado, é compacto e portanto essa cobertura tem uma subcobertura finita. Precisamos que seja finita, porque queremos usar essa cobertura para construir uma partição finita.
Nesse conjunto, a diferença entre o $\sup$ e o $\inf$ da função é "grande", porém limitada (a função é limitada). No entanto, o tamanho do conjunto é pequeno. Por isso, a contribuição desse pedaço na integral é "pequena".
No restante, a diferença entre o $\sup$ e o $\inf$ é pequena. Como o intervalo de integração é finito, a contribuição dessa diferença também acaba sendo pequena.
Tá feito aqui...
https://math.stackexchange.com/questions/263189/proof-that-a-function-with-a-countable-set-of-discontinuities-is-riemann-integra