exercicio 8 capitulo 5

provei a ida da seguinte forma:

supondo que o limite dado na questao existe, temos que mostrar que $f$ é de classe $C^1$ e que existe $A(x) \in \mathscr{L}(\mathbb{R^m},\mathbb{R^n})$.
Então,
\begin{align*}
f(x+h)&-f(x+k)-A(x)(h-k)\\&=f(x+h)-f(x+k)-A(x).h+A(x).k +f(x)-f(x)\\&=f(x+h)-f(x)-A(x).h-\left(f(x+k)-f(x)-A(x).k\right)
\end{align*}

Lembrando que $A(x) \in \mathscr{L}(\mathbb{R^m},\mathbb{R^n})$
usando o teorema da desigualdade do valor médio temos:
\begin{align*}
|f(x+h)&-f(x)-A(x).h + (-[f(x+k)-f(x)-A(x).k])|
\\
&\leq
|f(x+h)-f(x)-A(x).h|+|f(x+k)-A(x).k|
\\
&\leq \sup_{t \in [0,1]} |f´(x+th)-A|.|h|+ \sup_{t \in[0,1]}|f´(x+tk)-A|.|k|
\end{align*}
e dividindo por $|h-k|$, teremos

\begin{multline*}
\frac{|f(x+h)-f(x)-A(x).h|+|f(x+k)-A|}{|h-k|}
\\\leq
\frac{\sup_{t \in [0,1]} |f´(x+th)-A|.|h|+ \sup_{t \in[0,1]}|f´(x+tk)-A|.|k|}{|h-k|}
\end{multline*}

como $f$é de classe $C^1$, $A(x)=f´(x)$

então quando |h-k| vai para zero , então

$$[\sup_{t \in [0,1]} |f´(x+th)-A|.|h|+ \sup_{t \in[0,1]}|f´(x+tk)-A|.|k|] \over |h-k|$$
tambem vai a zero.