exercicio 8 capitulo 5

provei a ida da seguinte forma:

supondo que o limite dado na questao existe, temos que mostrar que $f$ é de classe $C^1$ e que existe $A(x)\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^{\mathbb{m}},{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})$.
Então,
$$\begin{array}{rl}f(x+h)& -f(x+k)-A(x)(h-k)\\ & =f(x+h)-f(x+k)-A(x).h+A(x).k+f(x)-f(x)\\ & =f(x+h)-f(x)-A(x).h-(f(x+k)-f(x)-A(x).k)\end{array}$$

Lembrando que $A(x)\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^{\mathbb{m}},{\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})$
usando o teorema da desigualdade do valor médio temos:
$$\begin{array}{rl}|f(x+h)& -f(x)-A(x).h+(-[f(x+k)-f(x)-A(x).k])|\\ & \le |f(x+h)-f(x)-A(x).h|+|f(x+k)-A(x).k|\\ & \le \underset{t\in [0,1]}{sup}|f´(x+th)-A|.|h|+\underset{t\in [0,1]}{sup}|f´(x+tk)-A|.|k|\end{array}$$
e dividindo por $|h-k|$, teremos

$$\begin{array}{c}\frac{|f(x+h)-f(x)-A(x).h|+|f(x+k)-A|}{|h-k|}\hfill \\ \hfill \le \frac{\underset{t\in [0,1]}{sup}|f´(x+th)-A|.|h|+\underset{t\in [0,1]}{sup}|f´(x+tk)-A|.|k|}{|h-k|}\end{array}$$

como $f$é de classe $C^1$, $A(x)=f´(x)$

então quando |h-k| vai para zero , então

$$\frac{[\underset{t\in [0,1]}{sup}|f´(x+th)-A|.|h|+\underset{t\in [0,1]}{sup}|f´(x+tk)-A|.|k|]}{|h-k|}$$
tambem vai a zero.