Exercício 10 capítulo 5
No exercício pede -se que use o exercício 9. Mostrar que r(0)=0 é tranquilo, porém não estou conseguindo mostrar que r'(0)=r"(0)=0, para concluir a questão. Alguém conseguiu fazer?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Para $r'$, você tem que calcular a derivada de
\begin{equation*}
r(h) = f(a+h) - f(a) - Df(a)\vec{h} - \frac{1}{2} D^2f(a)(\vec{h}, \vec{h}).
\end{equation*}
Essencialmente, você tem que mostrar que a derivada de
\begin{equation*}
p(\vec{h}) = \frac{1}{2} D^2f(a)(\vec{h}, \vec{h})
\end{equation*}
é zero em $\vec{h} = \vec{0}$. Mas isso é tranquilo...
\begin{equation*}
Dp(\vec{0})\vec{v}
=
\frac{1}{2}
\left(D^2f(a)(\vec{0}, \vec{v}) + D^2f(a)(\vec{v}, \vec{0})\right).
\end{equation*}A derivada segunda parece difícil, mas é fácil. Essencialmente, tem que mostrar que a $D^2p(\vec{h})$ é igual a $D^2f(a)$ (aqui é que entra a simetria).
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Professor, f"(a).(0,v)=(f"(a).0).v?
Só pra confirmar.- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim.
Que dizer... eu faço assim... mas deve ter gente que faz na outra ordem.
- Em resposta aandrecaldas⬆:Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Tenho mais uma dúvida professor, para calcular a P"(h), eu devo aplicar no vetor (v,v) entao?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Pra calcular $p''$, você escreve $p'$. E então deriva.
Escrevendo $p'$ como função de $\vec{h}$,
\begin{equation*}
p'(\vec{h}) \vec{v} = \frac{1}{2}\left(f''(a)(\vec{h}, \vec{v}) + f''(a)(\vec{v}, \vec{h})\right).
\end{equation*}
Na verdade... assim fica meio confuso... assim fica mais claro:
\begin{align*}
p'(\vec{h}): E &\rightarrow \mathscr{L}(E,F)
\\
\vec{v} &\mapsto \frac{1}{2}\left(f''(a)(\vec{h}, \vec{v}) + f''(a)(\vec{v}, \vec{h})\right).
\end{align*}
A pegadinha aqui, é que $p'(\vec{h})$ é uma transformação linear, e o tal $\vec{v}$ não tem nada o que ver com a história! Poderia ser $x$...
\begin{align*}
p'(\vec{h}): E &\rightarrow \mathscr{L}(E,F)
\\
x &\mapsto \frac{1}{2}\left(f''(a)(\vec{h}, x) + f''(a)(x, \vec{h})\right).
\end{align*}Pra calcular $p''(\vec{h})$, você pode observar que $p'$ é linear. Por exemplo, é fácil ver que $p'(\alpha \vec{h}) = \alpha p'(\vec{h})$. Ou então, você pode fazer pela definição (no final tem que mostrar que é linear de qualquer modo) e escrever
\begin{equation*}
p'(\vec{h} + \Delta) = p'(\vec{h}) + p'(\Delta) + 0,
\end{equation*}
para concluir que $p''(\vec{h}) = p'$ (a derivada de uma transformação linear em um ponto é a própria transformação linear.