Exercício 5 Capítulo 7
Estou em dúvida em como proceder neste exercício. Temos que mostrar que uma função $f: U \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ definida por
$$f(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\varphi(x,t)dt$$
é de classe $C^1$. Pela definição aparecem contas das quais não tiro muitas conclusões. Alguém tem alguma dica?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasConsidera
\begin{equation*}
\Phi(x, y) = \int_a^y \varphi(x, t) , dt, \, (x, y) \in U \times [a,b]
\end{equation*} e escreve $f$ em termos dessa $\Phi$. Usa a Regra da Cadeia para derivar $f$ (agora escrita em termos de $\Phi$) e por último usa o Teorema de Leibniz e o Teorema Fundamental do Cálculo para escrever as derivadas parciais de $\Phi$ em termos de uma integral de $\varphi$ e de $\varphi$, respectivamente.- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Vou tentar, valeu!
- HEm resposta aMatheusFSouza⬆:hildefonso mendes cruz @hildefonso
Não entendi como posso fazer isso. Debati hj com o monitor sobre essa questão, porém, não entendemos muito bem como podemos dar procedimento, sabendo que $f(x)$ é definida por uma integral na qual os limites de integração são funções.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Como ainda não vimos integração, se quiser, pode pular esse.
Pelo que entendi da sugestão do @CaioTomas, você define
\begin{align*}
\Psi: [a,b] \times [a,b] \times [a,b] &\rightarrow \mathbb{R}^n
\\
(x,y,z) &\mapsto \int_y^z \varphi(x, t)\,\mathrm{d}t.
\end{align*}
Então, você calcula as derivadas parciais com respeito a $y$ e $z$ usando o Corolário 1 do Teorema 6.1 (que nós não vimos, mas que você já conhece). E para $x$, você consegue calcular assim:
https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Proof_of_basic_form
(tem que verificar se as hipóteses estão satisfeitas... eu não tenho certeza... tem que verificar se a continuidade de $\partial_x \varphi$ garante as hipóteses necessárias... se não souber, diga que falta verificar xxx e siga em frente)Então, note que definindo $h(x) = (x, \alpha(x), \beta(x))$, você vai ter que
\begin{equation*}
f = \Phi \circ h.
\end{equation*}
Aí, você pode usar a regra da cadeia (desde que observe que $h$ é diferenciável). Ufa!