Item 2, questão 3, Prova 1

Tem que calcular a derivada segunda e verificar que a simetria.

É só pra esse caso específico. Não precisa demonstrar o teorema!

A derivada primeira é assim
\begin{align*}
DB(a,b): E \times F &\rightarrow K
\\
(e,f) &\mapsto B(a,f) + B(e,b).
\end{align*}
Note que $DB$ é linear em $(a,b)$. Por exemplo,
\begin{align*}
DB((a_1, b_1) + (a_2, b_2))(e,f)
&=
DB(a_1 + a_2, b_1 + b_2)(e,f)
\\
&=
B(a_1 + a_2, f) + B(e, b_1 + b_2)
\\
&=
B(a_1, f) + B(a_2, f) + B(e, b_1) + B(e,b_2)
\\
&=
DB(a_1, b_1)(e,f) + DB(a_2, b_2)(e,f).
\end{align*}
Ou seja,
\begin{equation*}
DB((a_1, b_1) + (a_2, b_2))
=
DB(a_1, b_1) + DB(a_2, b_2).
\end{equation*}

Sabemos que a derivada de uma transformação linear $T$ em um ponto $a$, é a própria transformação $T$. Ou seja,
\begin{equation*}
DT(a) = T.
\end{equation*}
Como $DB$ é linear,
\begin{equation*}
D^2 B(a,b) = D(DB)(a,b) = DB.
\end{equation*}
Ou seja,
\begin{align*}
\left(D^2 B(a,b)(e_1, f_1)\right)(e_2, f_2)
&=
DB(e_1,f_1)(e_2,f_2)
\\
&=
B(e_1, f_2) + B(e_2, f_1)
\\
&=
B(e_2, f_1) + B(e_1, f_2)
\\
&=
DB(e_2,f_2)(e_1,f_1)
\\
&=
\left(D^2 B(a,b)(e_2, f_2)\right)(e_1, f_1).
\end{align*}