Uma maneira mais fácil de fazer o exercício pra prova (1) -- parte 1.

Minha primeira tentativa foi de fazer algo parecido com o $\mathbf{\text{Corolário 1}}$ do capítulo 4, onde ele usa o produto de transformações. No capítulo 7, vemos que há um isomorfismo natural entre $\mathcal{L}({\mathbb{R}}^m,\mathcal{L}({\mathbb{R}}^m,{\mathbb{R}}^n))$ e ${\mathcal{L}}_2({\mathbb{R}}^m,{\mathbb{R}}^n)$.
Com isso e pela regra da cadeia, temos que $h$ tem derivada no ponto $a$ (pois $f,g$ são duas vezes diferenciáveis) e define-se $h$ como sendo a transformação bilinear $B(Dg(f(a)),Df(a))=Dg(f(a))\circ D(f(a))$ composição de transformações.