Exercício 5 capítulo 3
Esse exercício pede para calcular as 3 primeiras derivadas de $f$. Como $f$ é uma função de $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ a matriz de sua primeira derivada vai ser o gradiente e a segunda vai ser uma matriz 3x3 com as derivadas parciais da primeira, mas na terceira eu travei. Como que calcula a terceira derivada, é pra considerar a segunda derivada como um vetor bem longo em $\mathbb{R}^9$ e derivar coordenada a coordenada, obtendo uma matriz 3x9?
E isso não é essencial para a questão 5 mas por curiosidade: a gente viu que para aplicar a transformação bilinear $M=[D^2f(a)]$ em $(u,v)$ a gente usava uma multiplicação do tipo $v^TMu$. Como se aplica uma terceira derivada em $(u,v,w)$?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Escreva pra gente, a $D^2f(x,y,z)$ que você encontrou.
- SPedro Luís Souto Silva @soiejo55
O $D^2f$ pra mim é
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
0&z&y
\\
z&0&x
\\
y&x&0
\end{bmatrix}
\end{equation*}Dê uma olhada em:
Como utilizar símbolos matemáticos com $\LaTeX$.- AAndré Caldas @andrecaldas
Então,
\begin{equation*}
D^2f(a + \vec{w})
=
\begin{bmatrix}
0 & z & y
\\
z & 0 & x
\\
y & x & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & w_3 & w_2
\\
w_3 & 0 & w_1
\\
w_2 & w_1 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
- AEm resposta asoiejo55⬆:André Caldas @andrecaldas
Talvez você possa "esquecer" desses vetores $(\vec{u}, \vec{v})$. Me parece melhor pensar, por exemplo, em $M = M(a)$. Você só precisa escrever
\begin{equation*}
M(a + \vec{w}) = M(a) + T\vec{w} + \rho(\vec{w}),
\end{equation*}
onde $T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathcal{M}(3, 3)$ (o espaço das matrizes $3 \times 3$).- AAndré Caldas @andrecaldas
Se quiser colocar $\vec{u}$ e $\vec{v}$, também pode... mas não acho que ajude.
\begin{equation*}
\vec{v}^T \left(M(a + \vec{w})\right) \vec{u}
=
\vec{v}^T \left(M(a + \vec{w})\right) \vec{u}
+
\vec{v}^T (T\vec{w}) \vec{u}
+
\vec{v}^T (\rho(\vec{w})) \vec{u}.
\end{equation*}
Lembre-se que $T\vec{w}$ e $\rho(\vec{w})$ são matrizes $3 \times 3$.