Exercício para a prova (1).
Essa questão tem relação com o exercício 10 do capítulo 4.
Sejam
\begin{align*}
f: E &\rightarrow F
\\
g: F &\rightarrow K
\end{align*}
funções entre espaços normados que possuem (ao menos) derivada até ordem $2$. Considere
\begin{equation*}
h(a) = D g(f(a)) \circ D f(a),
\end{equation*}
e determine
\begin{equation*}
Dh(a)
\end{equation*}
em termos de composição de derivadas de $f$ e $g$.
Dica: decomponha $h(a + \vec{v})$ em suas partes constante, linear e "resto".
Caio Tomás de Paula @CaioTomasTemos que
\begin{align*}
h(a+\vec{v}) &= Dg(f(a+\vec{v})) \circ Df(a+\vec{v})
\\
&= Dg(f(a) + Df(a)\vec{v} + \rho_f(\vec{v})) \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right].
\end{align*}
Usando que a derivada é uma transformação linear, temos
\begin{equation*}
h(a + \vec{v}) = \left[ Dg(f(a)) + Dg(Df(a)\vec{v}) + Dg(\rho_f(\vec{v})) \right] \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right].
\end{equation*}
Expandindo essa composição, temos
\begin{multline}
h(a+\vec{v}) = Dg(f(a)) \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right] \\+ Dg(Df(a)\vec{v}) \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right] + \rho_h(\vec{v}),
\end{multline}
onde
$$
\rho_h(\vec{v}) = Dg(\rho_f(\vec{v})) \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right].
$$ Expandindo as demais composições, temos
$$
h(a+\vec{v}) = h(a) + Dg(f(a)) \circ D^2f(a)\vec{v} + Dg(Df(a)\vec{v}) \circ Df(a) + Dg(Df(a)\vec{v}) \circ D^2f(a)\vec{v} + R_h(\vec{v}),
$$ sendo
$$
R_h(\vec{v}) = \rho_h(\vec{v}) + Dg(f(a)) \circ \rho'_f(\vec{v}) + Dg(Df(a)\vec{v}) \circ \rho'_f(\vec{v}).
$$
Fazendo essa conta, eu diria que
$$
Dh(a)\vec{v} = Dg(f(a)) \circ D^2f(a)\vec{v} + Dg(Df(a)\vec{v}) \circ Df(a) + Dg(Df(a)\vec{v}) \circ D^2f(a)\vec{v},
$$ mas a minha intuição me diz que
$$
Dh(a) = \left[ D^2g(f(a)) \circ Df(a) \right] \circ Df(a) + Dg(f(a)) \circ D^2f(a),
$$ e isso parece ser coerente com o Exercício 2 do Capítulo 4. Eu errei em algum lugar?Correções: usando corretamente a linearidade de $Dg(x)$, temos
\begin{align*}
h(a+\vec{v}) &= Dg(f(a+\vec{v})) \circ Df(a+\vec{v})
\\
&= Dg(f(a) + Df(a)\vec{v} + \rho_f(\vec{v})) \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right]
\\
&= \left[ Dg(f(a)) + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v}) + D^2g(f(a))(\rho_f(\vec{v})) + \rho_g(Df(a)\vec{v} + \rho_f(\vec{v})) \right] \circ \left[ Df(a) + D^2f(a)\vec{v} + \rho'_f(\vec{v}) \right]
\\
&= h(a) + Dg(f(a)) \circ D^2f(a)\vec{v} + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v}) \circ Df(a) + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v}) \circ D^2f(a)\vec{v} + R_h(\vec{v}).
\end{align*} Daí, teríamos
\begin{equation*}
Dh(a)\vec{v} = Dg(f(a)) \circ D^2f(a)\vec{v} + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v}) \circ Df(a) + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v}) \circ D^2f(a)\vec{v},
\end{equation*} correto?
meira @meiritosParece mesmo a questão 2, inclusive eu fiz essa do professor do mesmo jeito, definindo uma transformação bilinear.
- Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Dê uma olhada nas minhas edições... é bom não usar
$$. É melhor usar\begin{equation*}\end{equation*}. Quando for pra alinhar,\begin{align*}\end{align*}. Se a linha for muito longa, pode ser uma boa usar o\begin{multline*}\end{multline*} - Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
A derivada não é uma transformação linear! :-)
Perceba que $Dg(x)\vec{v}$ é linear em $\vec{v}$. Mas não é linear em $x$.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem que consertar, @CaioTomas:
\begin{align*}
Dg(f(a) &+ Df(a)\vec{v} +\rho_f(\vec{v}))
\\
&=
Dg(f(a)) + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v} +\rho_f(\vec{v}))) + \rho_g(Df(a)\vec{v} +\rho_f(\vec{v})))
\\
&=
Dg(f(a)) + D^2g(f(a))(Df(a)\vec{v}) +D^2g(f(a))(\rho_f(\vec{v}))) + \rho_g(Df(a)\vec{v} +\rho_f(\vec{v}))).
\end{align*}
- Em resposta aCaioTomas⬆:W@wanessa_muricy
Pensando desse jeito vai sobrar também $\rho_g(Df(a)(\vec{v}) + \rho_f(\vec{v})) \circ Df(a + \vec{v})$. Como mostra que isso sobre a norma de $\vec{v}$, vai para zero, quando $\vec{v}$ vai pra zero? A gente só tem que $\rho_g(Df(a)(\vec{v}) + \rho_f(\vec{v}))$ sobre a norma do seu argumento vai para zero, quando esse argumento aí vai para zero...
- AAndré Caldas @andrecaldas
Na norma de operadores,
\begin{equation*}
\|S \circ T\| \leq \|S\|\,\|T\|,
\end{equation*}
pois, pela definição da norma de operadores,
\begin{equation*}
\|S(Tx)\| \leq \|S\|\,\|Tx\| \leq \|S\|\,\|T\|\,\|x\|.
\end{equation*}Depois tem que fazer como no vídeo da demonstração da regra da cadeia.
https://youtu.be/Adxi2LzPm68?list=PLMG2ETzS-iy95U-hwPhPRSGRHBFm8Dk2x&t=866- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Estou em dúvida em como estimar as partes das funções bilineares. Se $B$ é bilinear e $T$ é linear, temos que $B \cdot T \cdot v$ é linear. Não achei nada sobre normas de operadores bilineares. Se existe uma tal norma para esses operadores, por acaso vale
\begin{equation*}
||B \cdot T \cdot v|| \leq ||B|| \cdot ||T \cdot v|| \leq ||B|| \cdot ||T ||\cdot ||v||
\end{equation*}
?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasPra operadores multilineares você consegue uma estimativa do tipo
\begin{equation*}
\|M(a_1, \dots, a_n)\| \leq C \|a_1\|\cdots\|a_n\|
\end{equation*} se eu não me engano. Aí acho que deve resolver (?)- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Entendi, verdade. Não tinha usado isso porque calculando $h(a+v)$ não aparecem as funções bilineares calculadas em um par de vetores, já que $h$ calculada em um ponto é uma transformação linear. Mas acho que dá pra adaptar as coisas pensando bem. Valeu!
- Em resposta aMatheusFSouza⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Na verdade, não precisa. Estamos falando da norma de operadores em $\mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E,F))$. Aqui, você não está olhando como uma transformação bilinear. É LINEAR!!!
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Verdade, acho que pode simplificar as coisas pensar assim
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. Misturando a notação de linear com bilinear fica assim:
\begin{equation*}
\|B(\vec{v}, \cdot)\| \leq \|B\|\, \|\vec{v}\|.
\end{equation*}
A primeira é a norma de operadores em $\mathscr{L}(E,F)$. A segunda é a norma em $\mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E,F))$.É o MESMO que
\begin{equation*}
\|T\vec{v}\| \leq \|T\|\, \|\vec{v}\|.
\end{equation*}Se quiser colocar $\vec{w}$...
\begin{equation*}
\|B(\vec{v}, \vec{w})\| \leq \|B(\vec{v}, \cdot)\|\, \|\vec{w}\|.
\end{equation*}
Todas essas desigualdades são simplesmente a definição de norma de operadores.
- Em resposta awanessa_muricy⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Quando conseguirem fazer desse jeito difícil, postem aqui que eu mostro um jeito fácil. (se é que tá certo!) :-)
- W@wanessa_muricy
Eu acho que sairia se tivesse escrito o resto de $f$ daquela segunda forma, aí a prova dessa parte com $\rho_g(Df(a)(\vec{v}) + \rho_f(\vec{v})\|\vec{v}\|)$ fica igual a da regra da cadeia do vídeo, usando só esse fato sobre a norma de operadores da composição. E parece que para as outras parcelas do resto de $h$ as coisas ainda vão para zero com o o resto de $f$ escrito da segunda forma.
Acho que o jeito fácil tem a ver com o que o professor escreveu sobre regra da cadeia na última dúvida que eu mandei, mas não sei.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim. Mas assim também dá. Só que aparecem coisas no denominador:
\begin{equation*}
\frac{\rho(\vec{w})}{\|\vec{v}\|}
=
\begin{cases}
\frac{\rho(\vec{w})}{\|\vec{w}\|}
\frac{\vec{w}}{\|\vec{v}\|},& \vec{w} \neq \vec{0}
\\
0,& \vec{w} = \vec{0},
\end{cases}
\end{equation*}
pois $\rho(\vec{0}) = 0$.
- Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
A parte que aparece o $\vec{v}$ duas vezes tem que fazer parte do resto.