Dúvidas

Capítulo 1 questão 3

Acho que sua resolução está muito boa. É como eu faria.

Apenas gostaria de lembrar que como um "exercício para treinar a diferenciabilidade pela definição", é bom. Mas que não devemos usar esses argumentos quando já conhecemos outras propriedades e teoremas. Por exemplo, o resultado segue dos três seguintes fatos:

1. As funções constantes são diferenciáveis.
2. As transformações lineares (contínuas) são diferenciáveis.
3. Soma de função diferenciável é diferenciável.

Esses são fatos que você não precisa ficar demonstrando (só no comecinho do curso). Basta mencioná-los.

Capítulo 2 exercício 1

O exercício nem menciona a norma. Quando eu vejo isso, eu imagino duas coisas:

1. A norma é alguma norma canônica, que tenha "ficado combinado" que se nenhuma norma for mencionada, deve-se usar essa.
2. Apesar de o conceito de diferenciabilidade ser diferente para normas não equivalentes, isso não acontece em $\mathbb{R}^n$. Então, pode-se observar que, em $\mathbb{R}^n$, o conceito de derivada independe da norma escolhida.

Nesse sentido, como o curso é exatamente sobre isso... talvez o ideal fosse, no começo da questão observar:

Em $\mathbb{R}^n$, todas as normas são equivalentes. E para normas equivalentes, o conceito de diferenciabilidade é o mesmo. Sendo assim, na resolução dessa questão, vamos escolher a norma xxxx para tratar do domínio de $f$, e yyyy para tratar do contradomínio.

Acho muito mais interessante o que você tem pra me dizer em português, do que as contas que vem depois. :-)

Capítulo 4 exercício 10

Eu também me atrapalho. :-)

O mais importante nessa questão, é perceber que não é fácil! Que a regra da cadeia não é um oba-oba. A complicação é a seguinte:

A função $Df(a)\vec{v}$ pode ser vista como uma função saindo de $\Omega \times \mathbb{R}^n$. Quando derivamos $Df$, em geral, estamos falando de derivar com respeito a $a$. Mas quando falamos na regra da cadeia, estamos falando de $\vec{v}$.

Atenção... vou usar a notação $Dg \circ f = (Dg)\circ f$. Que é diferente de $D(g \circ f)$.

Por exemplo,
\begin{equation*}
(Dg \circ f) (a) = Dg(f(a))
\end{equation*}
é a derivada de $g$ no ponto $f(a)$. Enquanto que
\begin{equation*}
D(g \circ f)(a) = Dg(f(a)) \circ Df(a) = (Dg \circ f)(a) \circ Df(a)
\end{equation*}
é a regra da cadeia: a derivada de $g \circ f$ no ponto $a$ é igual à composição da derivada de $g$ no ponto $f(a)$ com a derivada de $f$ no ponto $a$.

Talvez, se a gente usasse uma notação como
\begin{equation*}
\tilde{D}f(a,\vec{v}) = (f(a), Df(a)\vec{v}),
\end{equation*}
talvez ficasse mais fácil falar da regra da cadeia em alguns casos. Por exemplo, a regra da cadeia fica assim:
\begin{equation*}
\tilde{D}(g \circ f)
=
\tilde{D}g \circ \tilde{D} f.
\end{equation*}
Ou seja,
\begin{align*}
D(g \circ f)(a)\vec{v}
&=
\tilde{D}(g \circ f)(a, \vec{v})
\\&=
(\tilde{D}g \circ \tilde{D} f)(a, \vec{v})
\\&=
\tilde{D}g (f(a), Df(a)\vec{v})
\\&=
Dg(f(a))(Df(a)\vec{v}).
\end{align*}

Ainda não olhei sua resolução... :-)