Exercício 1- capítulo 5
Olá professor! Até agora não consegui fazer nenhuma questão do capítulo 5. Então comecemos pela primeira questão desse capítulo. Para começar, eu não entendi o que está sendo pedido.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Esse é o problema. Não está sendo pedido nada! Ele só faz uma afirmação.
O que você consegue falar sobre todas essas afirmações que são feitas no exercício 1?
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Ele diz que f'(0)=a. Porém, eu derivei a função dada e não obtive f'(0)=a, até por que f'(x)= a + 2xsin(1/x)- cos(1/x).
- AAndré Caldas @andrecaldas
A função dada é essa:
\begin{equation*}
f(x) =
\begin{cases}
ax + x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right),& x \neq 0
\\
0,& x = 0.
\end{cases}
\end{equation*}
Como você conseguiu derivar essa "colagem" em $x = 0$?Fazendo
\begin{equation*}
g(x) =
\begin{cases}
x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right),& x \neq 0
\\
0,& x = 0,
\end{cases}
\end{equation*}
temos que
\begin{equation*}
\frac{|g(x) - g(0)|}{|x|}
\leq
\frac{x^2}{|x|} = |x|
\xrightarrow{x \rightarrow 0} 0.
\end{equation*}Fazendo um desenho dessa $g$, você consegue ver bem a derivada em $x = 0$. É só fazer uma parábola pra cima ($x^2$) e uma pra baixo ($-x^2$), como se fosse uma letra "x" curvada. E então, fazer um zigue-zague (função seno) entre as duas parábolas.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Desculpa professor. Compreendi o que o senhor fez, mas, ainda não entendi qual é a conclusão dessas afirmações
- AAndré Caldas @andrecaldas
A última conta mostra que $g'(0) = 0$. Como $f(x) = ax + g(x)$, então $f'(0) = a + g'(0) = a$.