exercicio 6 e 7 capitulo 1
Olá! Nao consegui fazer nenhum dos dois. Nao entendi a funçao do exercicio 7 e nao sei como usar coordenadas polares nele. A questao 6 eu nao sei tbm
- AAndré Caldas @andrecaldas
O exercício 7 já está em coordenadas polares. Basta ignorar as primeiras três palavras do texto: "Usando coordenadas polares".
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Professor eu devo calcular aquele limite para checar como seria a derivada? E depois ver se o erro vai a zero?
Pede- se que eu mostre que não é coninua na origem, porém, y nunca é zero e a função vai de R^2 para R, então, a origem seria (0,0), certo- AAndré Caldas @andrecaldas
Para calcular o valor de $f$ na origem, é só substituir $x = 0$.
Você não precisa calcular o tal limite, porque você vai mostrar que a função não é contínua em $(0,0)$, e portanto, não diferenciável.
Tudo o que você precisa é tomar $x_n \rightarrow 0$ para ter $x_n \mathrm{e}^{iy_n} \rightarrow 0$. Então, você precisa tomar $y_n$ adequado, de modo que
\begin{equation*}
\left(\frac{x_n}{y_n}\right)^2 \not \rightarrow 0.
\end{equation*}- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Deverei usar a definição de continuidade então. Aquela com episilons de deltas,certo ?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não vejo necessidade de usar epsilons e deltas. A questão é mais simples do que você está imaginando. Por exemplo, se você fizer $y_n = x_n$, então
\begin{equation*}
f(x_n \mathrm{e}^{iy_n}) = 1 \not \rightarrow 0.
\end{equation*}
- AEm resposta ahildefonso⬆:André Caldas @andrecaldas
A questão 6 é um pouco técnica.
Acho que o que a questão pede (apesar de mal escrita) é o seguinte:
Suponha que $f$ pode ser decomposta como
\begin{equation*}
f(a + \vec{v}) = f(a) + T \vec{v} + \rho(\vec{v}),
\end{equation*}
onde $T$ é linear e $\rho$ é tal que
\begin{equation*}
\frac{\rho(\vec{v})}{\|\vec{v}\|} \xrightarrow{\vec{v} \rightarrow \vec{0}} \vec{0}.
\end{equation*}
Mostre que $T$ é uma transformação linear contínua se, e somente se, $f$ é contínua no ponto $a$.- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Já posso dizer que a transformação linear T é a derivada de f aplicada no vetor?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Existem definições diferentes, dependendo do autor.
Se $f$ puder ser decomposta em
\begin{equation*}
f(a + \vec{v}) = f(a) + T\vec{v} + \rho(\vec{v}),
\end{equation*}
tem quem diga que $f$ é diferenciável e igual a $T$ quando $T$ é linear e $\frac{\rho(\vec{v})}{\|\vec{v}\|} \xrightarrow{\vec{v} \rightarrow 0} 0$. E tem aqueles (como estamos fazendo no nosso curso) que exigem que $T$ seja contínua. Em dimensão infinita, tanto faz, porque nesse caso, todas as transformações lineares são contínuas.Quando o problema pede pra você "definir" diferenciabilidade em espaços vetoriais normados quaisquer, provavelmente quer que você não exija a continuidade da transformação linear. E que você mostre que a transformação será contínua se, e somente se, $f$ for contínua no ponto $a$.
Se você vai dizer que $T$ é ou não é a derivada, depende de qual definição de derivada que você está utilizando. Pela definição que estamos usando no curso, não é a derivada. Mas pela definição que o Elon parece querer que você use, $T$ é a derivada.
É como perguntar se $0 \in \mathbb{N}$.