Exercício 8 Cap. 4 (Livro Elon)
Olá pessoal,
neste exercício, temos que mostrar que a norma de operadores em $\mathcal{L}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R^2})$ não é diferenciável. Consegui mostrar que a função $f$ do exercício é uma imersão isométrica como se pede. Mas não consegui entender como que isso se relaciona com mostrar que a norma de operadores não é diferenciável.
Além disso, não entendi muito bem essa ideia de uma norma ser diferenciável. Não sei como eu poderia encontrar a derivada, por exemplo.
Alguém poderia ajudar?
- AAndré Caldas @andrecaldas
O que o exercício faz, é identificar $\mathbb{R}^2$, na norma do máximo, com o subespaço das matrizes diagonais, na norma de operadores. Mas não é preciso entender isso pra fazer o exercício.
A identificação $f$ é linear. Vamos dar um nome para as funções norma:
\begin{align*}
g: F &\rightarrow \mathbb{R}
\\
x &\mapsto |x|.
\end{align*}
\begin{align*}
h: E &\rightarrow \mathbb{R}
\\
x &\mapsto |x|.
\end{align*}
Dizer que $f$ é uma isometria, é o mesmo que dizer que
\begin{equation*}
h = g \circ f.
\end{equation*}
Se $g$ é diferenciável, então, $h$ também é, pois em $(a,b) \in E$,
\begin{equation*}
Dh(a,b) = Dg(f(a,b)) \circ Df(a,b) = Dg\left(\begin{bmatrix}a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}\right) \circ f.
\end{equation*}
(usamos a linearidade de $f$)Acho que o que falta fazer é mostrar que $h$ não é diferenciável em algum ponto, pra concluir que $g$ também não é diferenciável na matriz diagonal correspondente. :-)
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Certo, entendi! Obrigado