Dúvida vídeo aula
Na aula (S02A03) de exemplos teóricos, no minuto 7:03 o professor aborda a ideia de derivada no ponto, como temos que ter a norma em F ele assume a norma do máximo. Alguém pode me explicar essa ideia que ele utilizou? Não sei se interpretei errado.
Depois ele não utiliza a ideia, mas gostaria de compreender mesmo assim o que seria utilizar.
Caio Tomás de Paula @CaioTomasSe não me engano, a norma do máximo só é usada para estimar o "resto" quando aproximamos a imagem de $B$ em um certo ponto pela escrita com a derivada. A priori, você pode só assumir que tem uma norma no espaço produto $E\times F$ e, na hora de estimar, usa a norma do máximo sabendo que ela é a mais forte.
- AAndré Caldas @andrecaldas
O fato é que as normas que estamos interessados são equivalentes à norma do máximo. Isso, porque estamos falando na topologia produto (convergência coordenada a coordenada). E duas normas que geram a mesma topologia (mesma noção de convergência) são equivalentes.
Com a norma do máximo, conseguimos fazer as contas facilmente, porque
\begin{equation*}
\|B(x,y)\|
\leq
M
\|x\| \|y\|
\leq
M
\|(x,y)\|_\infty^2.
\end{equation*}Então, para a norma do máximo, conseguimos calcular a derivada. Mas quando substituímos a norma do máximo $\|\cdot\|_\infty$ por uma equivalente $\|\cdot\|$, como existe $a > 0$ tal que $\|(x,y)\| \geq a \|(x,y)\|_\infty$,
\begin{align*}
\frac{\|B(x,y)\|}{\|(x,y)\|}
&\leq
\frac{M \|(x,y)\|_\infty^2}{\|(x,y)\|}
\\&\leq
\frac{M \|(x,y)\|_\infty^2}{a\|(x,y)\|_\infty}
\\&=
\frac{M \|(x,y)\|_\infty}{a}
\xrightarrow{(x,y) \rightarrow (0,0)} 0.
\end{align*}Então, qualquer que seja a norma $\|(x,y)\|$, compatível com a topologia produto (ou seja, equivalente à norma do máximo), o resultado é o mesmo:
\begin{equation*}
DB(a,b)(\vec{v}, \vec{w}) = B(a,\vec{w}) + B(\vec{v},b).
\end{equation*} - Em resposta aCaioTomas⬆:AAndré Caldas @andrecaldas
Sabendo que ela é mais fraca!