Questão 1 Exame 2º/2015

Esse "exame" que você fala, é o exame de qualificação do mestrado?

Sim.

Isso é muito bacana! Acho que os estuantes, hoje em dia, podem fazer o exame de qualificação antes de entrar no mestrado. Assim, eles já vão adiantando as coisas. Mas não sei exatamente como funciona.

Inclusive já ouvi sobre estudantes que passaram no exame tendo feito somente até Análise 2.

No último edital não teve exame de qualificação, não sei se esse vai ser o padrão de agora em diante.

Sobre a questão, pode usar o conceito de base de uma topologia?

De fato, mas acho que fui um pouco impreciso :P. Esse exame que peguei a questão é, tecnicamente, feito após entrar no mestrado. O interessante é que mesmo um estudante de graduação pode tentar, daí se ele passar, quando entrar no mestrado já pode focar em outras coisas (tipo os exames que faltam ou a dissertação).

Sobre a pergunta, eu não sei exatamente os critérios de correção, mas eu acho que deve ser bom deixar as coisas bem justificadas. Por exemplo, em vez de só argumentar que é suficiente checar para uma base, dizer o que é uma base e argumentar também o motivo de ser suficiente. Resumindo, acho que é melhor usar a ideia e não a definição em si.

Ahh, não sabia que os exames de qualificação eram pra "sair" xD Legal!

Sobre as bases, faz sentido. Vou tentar pensar num jeito usando bolas :-)

Na minha época, o mestrado era assim:

1. Você entra. :-)
2. Estuda pros exames de qualificação. Normalmente faz dois por semestre. O chato disso, é que todo mundo pega as disciplinas correspondentes aos exames. Então, você não pega nenhuma disciplina "diferente". Assim, se já estiver passado nos exames, pode pegar outras disciplinas.
3. Depois de passar nos quatro exames, você começa a ser orientado por um professor, pra escrever sua dissertação.
4. Ao final, você apresenta sua dissertação pra uma banca.

Não sei se esse formato de "chat" é bom pra discutir a questão.

Para a solução do item "3", acho que uma observação interessante é:

Se $A$ é um aberto, então
\begin{equation*}
A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \cap \overline{B} = \emptyset.
\end{equation*}

Bom gente, vou trazer uma solução dessa questão. Como o professor André comentou mais acima, esse formato não é bom para discussões, da próxima vez irei usar outro.

Nos dois primeiros itens vamos usar que toda norma no $\mathbb{R}^n$ dá origem as mesmos abertos, ou seja, $X\subset \mathbb{R}^n$ é aberto de acordo com a norma $m_1$ se, e somente se, é aberto de acordo com a norma $m_2$. Onde $m_1,m_2$ são normas quaisquer.
Então, para problemas envolvendo abertos, continuidade, fechados... podemos usar a norma mais conveniente (desde que estejamos no $\mathbb{R}^n$!!!).

Nesse caso, vamos usar a norma do máximo, pois nessa norma vale que (tente provar os seguintes fatos):

1. Se $B(x,r)\subset \mathbb{R}^n$, então
   $$\pi_j(B(x,r))=(x_j-r,x_j+r),$$
   pois nessa norma $B(x,r)$ é o produto dos intervalos $(x_i-r,x_i+r)$.

2. Se $I=(a-r,a+r)\subset \mathbb{R}$, então $\pi_j^{-1}(I)=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\dots\times I\times \dots \mathbb{R}$ onde $I$ é o $j$-ésimo termo do produto.

Isso nos diz que imagens diretas e imagens inversas das projeções $\pi_j$ de bolas (lembre que intervalos são bolas em $\mathbb{R}$) são conjuntos abertos.

a)
Assim suponha $A\subset \mathbb{R}^n$ aberto. Tome $\pi_j(a)\in\pi_j(A)$, por hipótese, existe uma bola aberta $D=B(a,r)\subset A$. Logo:
$$\pi_j(a)\subset \pi_j(D)\subset \pi_j(A).$$

Ou seja, dado um ponto qualquer de $\pi_j(A)$, encontramos um aberto que contém esse ponto e está contido em $\pi_j(A)$, logo, $\pi_j(A)$ é aberto.

b)
Agora seja $B\subset \mathbb{R}$ aberto. Tome $b\in \pi_j^{-1}(B)$, por definição, segue que $\pi_j(b)\in B$, seja então $D=B(\pi_j(b),r)\subset B$ uma bola aberta. Como vimos o conjunto $\pi_j^{-1}(D)$ é aberto, além disso,
$$b\in \pi_j^{-1}(D)\subset \pi_j^{-1}(B).$$

Novamente, dado um ponto qualquer de $\pi_j^{-1}(B)$, encontramos um aberto contendo esse ponto e contido em $\pi_j^{-1}(B)$. Logo, $\pi_j^{-1}(B)$ é aberto.

Agora vamos demonstrar o item c)

Queremos mostrar que $A\cap \overline{X}\subset\overline{A\cap X}$, onde $A$ é aberto. Ou seja, queremos mostrar que, dado $a\in A\cap \overline{X}$, toda bola aberta com centro nesse ponto intersecta $A\cap X$.

Seja $B_1=B(a,r_1)$ uma bola aberta centrada em $a$ qualquer, iremos mostrar que $B_1$ intercepta $A\cap X$.

Como $A$ é aberto, existe $B_2=B(a,r_2)\subset A$.

Note que $B=B(a,r_1)\cap B(a,r_2)$ ainda é a uma bola aberta centrada em $a$ (a saber, com raio igual ao menor valor entre $r_1$ e $r_2$), além disso, $B$ ainda está contida em $A$, pois está contida em $B(a,r_2)$.

Como $a$ também pertece a $\overline{X}$, toda bola centrada em $a$ intercepta $X$, em particular, $B$ intercepta $X$.

Ou seja, $B$ intercepta $A\cap X$, pois intercepta $X$ e está contida em $A$. Em particular, como $B\subset B_1$, temos que $B_1$ intercepta $A\cap X$, como queríamos.

Se $a \in A \cap \overline{X}$, então qualquer vizinhança de $a$ tem interseção com $X$, pois $a \in \overline{X}$. Em particular, para toda vizinhança $V$ de $a$,
\begin{equation*}
X \cap (A \cap V) \neq \emptyset,
\end{equation*}
pois $V \cap A$ também é vizinhança de $a$. Mudando os parêntesis de lugar... para toda vizinhança de $a$,
\begin{equation*}
(X \cap A) \cap V \neq \emptyset.
\end{equation*}
Ou seja, $a \in \overline{X \cap A}$.

Com sequências...

Se $a \in A \cap \overline{X}$, então existe uma sequência $x_n \in X$ tal que $x_n \rightarrow a$. Como $A$ é vizinhança de $a$, a sequência $x_n$ eventualmente (de um momento em diante) está em $A$. Então, "jogando fora" os $x_n$ que não estão em $a$, temos uma subsequência $x_{n_k} \in A \cap X$, que converge para $a$. Ou seja, $a \in \overline{A \cap X}$.

@AyrtonAnjos no item a), era pra ser $\pi_j(a) \in \pi_j(D)$, não?

O argumento com vizinhanças parece até trapaça xD

:-)

Com abertos é bem parecido.