Exercício 10 - Lista 1/01
Mostre, de umas duas ou três maneiras diferentes, utilizando resultados de outros exercícios, ou utilizando teoremas quaisquer, que em $ \mathbb{R}^p$ , com uma norma qualquer $ || \cdot || $ , uma sequência $ x_n = \left( x_{n}^{1}, ..., x_{n}^{p} \right) $ converge para $ a = \left( a^{1}, ..., a^{p} \right) $ se, e somente se, para todo $ j = 1, ..., p $,
\begin{equation*}
x_{n}^{j} \rightarrow a^{j}.
\end{equation*}
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Ida.
$a=(a^1,...,a^p)$ pertence a $\mathbb{R^p}$ daí $|a^j|$ é menor ou igual a norma do maximo de a. Se $x_n$ é uma sequência de cauchy,então, para todo $\epsilon > 0$ $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $m,n >N$ implica $||x_m - x_n|| < \epsilon$. Então as distancias são menores que as do maximo. Logo, fixando $j$ e variando n temos que $x_{n}^{j} $ é de cauchy. Entao, cada coordenada forma uma sequência de cauchy e como o conjunto dos numeros reais é completo então $x_{n}^{j} $ converge para $a^j$.- AAndré Caldas @andrecaldas
Não entendi pra que você está utilizando sequências de Cauchy...
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
estou tentando usar o fato que em um espaço completo as sequencias de cauchy convergem.
- AAndré Caldas @andrecaldas
E você usou que qual espaço é completo?
- Em resposta ahildefonso⬆:Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
o espaço E na norma do supremo.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Na demonstração que você chamou de "Ida", você não usou que $\mathbb{R}^p$ é completo, não.
[...] e como o conjunto dos numeros reais é completo então [...]
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Desculpe professor. Estou com bastante dificuldade na sua disciplina e estou me esforçando pra aprender. Não sei se os outros alunos estão assim também, mas, em particular sinto muita dificuldade. Contudo, gostaria de saber se pelo menos estou no caminho.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Não tem que se desculpar! Você é um dos poucos que tem coragem de botar a cara a tapa e mostrar o que sabe e o que não sabe! Você está de parabéns!
Eu poderia simplesmente lhe dar as respostas. Meu modo de colocar as coisas é só pra incentivar que você perceba o que está errando.
Esse exercício não é realmente complicado. Você complicou ele mais do que o necessário. Não precisa falar de sequência de Cauchy.
$(\Rightarrow)$
Note que, se $x_n \rightarrow a$ (na norma do supremo),
\begin{equation*}
|x_n^j - a^j| \leq \|x_n - a\|_\infty \rightarrow 0.
\end{equation*}
Ou seja, $x_n^j \rightarrow a^j$.$(\Leftarrow)$
Uma maneira de fazer a volta, se você souber que a soma é contínua, é assim
\begin{equation*}
\forall j = 1, \dotsc, p,\,
|x_n^j - a^j| \rightarrow 0
\Rightarrow
|x_n^1 - a^1| + \dotsb + |x_n^p - a^p| \rightarrow 0.
\end{equation*}
Ou seja, $\|x_n - a\|_1 \rightarrow 0$. Portanto, se $x_n$ converge pra $a$, coordenada a coordenada, então $x_n \rightarrow a$ na norma da soma.Como, em $\mathbb{R}^p$, todas as normas são equivalentes, convergência em uma equivale a convergência em qualquer outra.
A questão da completude, pode ser interessante quando você está interessado na convergência, sem saber "pra onde". Aqui, você já sabe pra onde: $x_n \rightarrow a$.
Eu, sinceramente, acho que errei quando dei um prazo muito grande pra essa lista de exercícios. Muita gente deixou tudo pra última hora. Acho que tem outras pessoas na mesma situação que você. Mas não sei quantos. É uma boa pedir ajuda ao monitor... o quanto antes! :-)
- HEm resposta ateshugo⬆:hildefonso mendes cruz @hildefonso
Nao consegui entender como fazer a volta. Se alguem tiver uma ideia.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem uma videoaula que tem isso.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Nas suas video aulas?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Sim.
- Hhildefonso mendes cruz @hildefonso
Professor, eu consegui entender a questão. O monitor me deu uma ajuda. Agora entendi que não precisa usar sequências de cauchy e compreendi a volta também.