Exercicío 5

Um conjunto $F$ é dito sequencialmente fechado se dado uma sequência convergente$(x_n)_0^{\infty} $ de pontos de $F$, o limite da sequência está em $F$.

Queremos mostrar que
\begin{equation*}
\text{$F^c$ é aberto}
\Rightarrow \text{$F$ é sequencialmente fechado}.
\end{equation*}
Por contradição, seja $(x_n)$ uma sequência de elementos de $F$ e $x_n\rightarrow x\in F^c$(se o limite não está em $F$, ele tem que estar no complemento). Logo $x$ é interno a $F^c$(ja que este é um conjunto aberto), ou seja, existe $\epsilon$ tal que $B=B_{\epsilon}(x)\subset F^c$. Mas nenhum $x_n$ está em $B$, pois todos estão em $F$, o que contradiz a definição de convergencia, que implica que infinitos elementos da sequencia estariam em $B$.