Dúvida Exercício 14 - Lista 1/01
No Exercício 14 da lista 1/01, queremos mostrar que $X = (0,1]$ é completo em uma métrica e incompleto em outra.
Eu gostaria de mostrar que toda sequência de Cauchy em $(X, d_2)$ converge, mas estou com dificuldade. Daí seguiria mais ou menos intuitivamente que $X$ é completo com essa métrica, porque se uma sequência de Cauchy em $X$ converge para $x$, digamos, então sabemos que $x\neq 0$ (e sabemos também que $x\leq 1$ porque a sequência está em $X$).
Sugestões? :-)
- AAndré Caldas @andrecaldas
Pense na aplicação
\begin{align*}
f: [1, \infty) &\rightarrow (0, 1]
\\
x &\mapsto \frac{1}{x}.
\end{align*}
É uma bijeção. Tudo o que eu fiz foi transportar a métrica de $[1,\infty)$ para $(0,1]$. :-)Você sabe mostrar que $[1,\infty)$ é completo na métrica usual?
Caio Tomás de Paula @CaioTomasAhh, agora consigo! Basta mostrar que subconjuntos fechados de espaços completos são completos também, daí segue que $[1,\infty)$ é completo (ele é fechado porque o complementar, $(-\infty, 1)$, é aberto).