Dúvida Exercício 14 - Lista 1/01

2022-01-31 18:43:32.138Z

No Exercício 14 da lista 1/01, queremos mostrar que $X = (0, 1]$ é completo em uma métrica e incompleto em outra.

Eu gostaria de mostrar que toda sequência de Cauchy em $(X, d_{2})$ converge, mas estou com dificuldade. Daí seguiria mais ou menos intuitivamente que $X$ é completo com essa métrica, porque se uma sequência de Cauchy em $X$ converge para $x$ , digamos, então sabemos que $x \neq 0$ (e sabemos também que $x \leq 1$ porque a sequência está em $X$ ).

Sugestões? :-)

Responder

2 respostas

A
André Caldas @andrecaldas
2022-01-31 18:51:44.486Z
Pense na aplicação
$\begin{aligned} f : [1, \infty) & \to (0, 1] \\ x & \mapsto \frac{1}{x} . \end{aligned}$
É uma bijeção. Tudo o que eu fiz foi transportar a métrica de $[1, \infty)$ para $(0, 1]$ . :-)

Você sabe mostrar que $[1, \infty)$ é completo na métrica usual?
Responder 1 Curte
1. Caio Tomás de Paula @CaioTomas
  2022-02-01 12:39:26.103Z
  Ahh, agora consigo! Basta mostrar que subconjuntos fechados de espaços completos são completos também, daí segue que $[1, \infty)$ é completo (ele é fechado porque o complementar, $(- \infty, 1)$ , é aberto).
  Responder

ResponderAdd progress note