Equivalência de normas

Muito boa sua pergunta!!!

Você pode mostrar que toda bola na norma do supremo contém uma bola na outra norma. Ah... vou chamar a norma que não é a do supremo de "a norma x".

A grosso modo, pode ser feito assim:

1. A esfera de raio $1$, na norma do supremo, é compacta (na norma do supremo). $S = \{x \,|\; \|x\|_\infty = 1\}$.
2. Como $x_n \rightarrow a \Rightarrow x_n \xrightarrow{\infty} a$, então a esfera de raio $1$ na norma do supremo é compacta na norma x.
3. A função
   \begin{equation*}
   \|\cdot\|: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}
   \end{equation*}
   é contínua na norma x.
4. Então, $\|\cdot\|$ assume um mínimo $m$ em $S$.
5. Assim, a bola de raio $m$ da norma x está contida na bola de raio $1$.
6. Você poderia fazer a mesma coisa pra esfera de raio $\varepsilon$, ou então, poderia usar a propriedade da norma que faz com que
   \begin{equation*}
   B_\varepsilon(0) = \varepsilon B_1(0).
   \end{equation*}