Exercício 11 - Lista 1/01
Seja $E$ um espaço vetorial com duas normas equivalentes, $||\cdot ||_1$ e $||\cdot ||_2$. Mostre que, se $E$ é completo em uma dessas normas, então é completo na outra.
meira @meiritosSeria suficiente mostrar que, existindo as constantes $\alpha > 0$ e $\beta > 0$ tais que $\alpha\Vert x \Vert_{1} \leq \Vert x \Vert_{2} \leq \beta\Vert x \Vert_{1}$ pela equivalência de normas, podemos escolher $\frac{\varepsilon}{\gamma}$ por conta da completude tal que $\Vert x \Vert_{j} \leq \gamma\Vert x \Vert_{i} \leq \gamma\frac{\varepsilon}{\gamma} = \varepsilon $, substituindo os devidos valores?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Tem que fazer os detalhes.
Suponha que o espaço é completo na norma $2$.
Você pode tomar uma sequência de Cauch na norma $1$, mostrar que ela é sequência de Cauchy na $2$ (usando uma banda da equivalência). Como na $2$, $E$ é completo, então a sequência converge na norma $2$. Aí então, usando a outra banda da equivalência, você mostra que a sequência converge na norma $1$.
Se você postar uma resposta completa, fica mais fácil avaliar a situação. :-)
- Em resposta ameiritos⬆:
meira @meiritosAqui vai a tentativa!
Suponha que o espaço normado $E$ seja completo segundo a norma $2$ e seja $(x_{j})_{j \in \mathbb{N}}$ uma sequência de Cauchy segundo a norma $1$, isto é, para todo $\varepsilon_1 > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $m, n \geq n_0 \rightarrow ||x_m - x_n||_1 < \varepsilon_1$. Pela equivalência de normas existe $\alpha > 0$ tal que
$$
||x_m - x_n||_2 \leq \alpha||x_m - x_n||_1 < \alpha\varepsilon_1.
$$
Seja $\varepsilon_2 = \alpha\varepsilon_1$. Então para todo $\varepsilon_2 > 0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para $m, n \geq n_0 \Rightarrow ||x_m - x_n||_2 < \varepsilon_2$, sendo então uma sequência de Cauchy segundo a norma $2$. Como o espaço $E$ é completo segundo a norma $2$, novamente pela equivalência de normas temos que existe $\beta > 0$ tal que
$$
||x_m - x_n||_1 \leq \beta||x_m - x_n||_2
$$
então $||x_m - x_n||_1 \to 0$ pois $||x_m - x_n||_2 \to 0$. Logo, o espaço normado $E$ é completo na norma $1$. De forma análoga mostramos que se o espaço é completo segundo a norma $1$, então ele é completo na norma $2$.- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
Massa!
Eu faria algo diferente no finalzinho. Algo assim:
Pela equivalência das normas, como a sequência converge na norma 2 (pois é de Cauchy num espaço completo), então ela converge na norma 1. Portanto, $E$ é completo na norma 1.
- meira @meiritos
Entendi! Acho uma boa. Algo como "pela completude do espaço [...] sendo a sequência de Cauchy e pela equivalência de normas [...]". Isso? Vou dar uma melhorada em breve.
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
É mais porque o objetivo mesmo é mostrar que a sequência converge na norma 1. Quando você diz no final $||x_n - x_m||_1 \to 0$ você está dizendo que a sequência é de Cauchy na norma 1 (o que já é hipótese) e não necessariamente que ela converge. Pelo menos entendo assim. O que você acha?
- meira @meiritos
Eu tentei dizer que convergindo na norma $2$ ela converge na norma $1$ pela equivalência de normas, não que ela é de Cauchy na norma $1$. Não entendi onde eu mostrei que é de Cauchy (que já é hipótese mesmo) :(
- MMatheus de Freitas Souza @MatheusFSouza
O que eu quis dizer é: você escreve '$||x_n - x_m||_1 \to 0$ pois $||x_n - x_m||_2 \to 0$' e está correto. Mas acredito que ficaria mais claro se fosse algo assim:
Sabemos que a sequência é de Cauchy também na norma 2 (você mostrou). Como o espaço é completo nesta norma 2, sabemos que ela converge para algum ponto $a \in E$. Daí, da equivalência das normas, temos
$$||\cdot ||_1 \leq \beta||\cdot ||_2.$$
Isto nos dá uma desigualdade
$$||x_n - a||_1 \leq \beta||x_n - a||_2,$$
o que mostra que $x_n \to a$ na norma 1, pois $x_n \to a$ na norma 2.O que eu penso é que a frase que você diz (que eu citei) apenas significa que a sequência é de Cauchy na norma 1 e não que ela converge.