Exercício 7 - lista 1/01

Dizemos que uma função $f: E \to F$ entre espaços normados (métricos/topológicos) é contínua em $a\in E$ se para toda bola $B$ centrada em $f(a)$ existe uma bola $D$ centrada em $a$ tal que $D \subseteq f^{-1}(B)$. Vamos mostrar que em espaços normados/métricos, $f$ é contínua todos os pontos de $E$ se, e só se, a imagem inversa de todo aberto de $F$ é um aberto de $E$.

($\Rightarrow$) Suponha $f$ contínua em $E$ e seja $A$ um aberto de $F$. Tome $a\in f^{-1}(A)$ qualquer. Temos então $f(a)\in A$ e, como $A$ é aberto, segue que existe uma bola $B$ centrada em $f(a)$ tal que $B\subseteq A$. Ora, então $f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(A)$ e, pela continuidade de $f$, existe uma bola $D$ centrada em $a$ tal que $D \subseteq f^{-1}(B)$. Portanto, $D \subseteq f^{-1}(A)$, ou seja, $f^{-1}(A)$ é aberto em $E$.

($\Leftarrow$) Reciprocamente, suponha que a imagem inversa de abertos são abertos, e tome $a\in E$ qualquer. Ora, então para toda bola $B$ centrada em $f(a)$, temos $f^{-1}(B)$ aberto em $E$ e contendo $a$ (pois as bolas abertas são abertas). Portanto, existe uma bola (aberta) $D$ centrada em $a$ tal que $D \subseteq f^{-1}(B)$, ou seja, $f$ é contínua em $E$.