Exercício 9 - lista 1/01
Mostre que uma aplicação
$$\begin{align*}
f : \mathbb{R}^p &\rightarrow \mathbb{R}^q
\end{align*}$$
é contínua se, e somente se, para todo funcional linear
$$\begin{align*}
\varphi : \mathbb{R}^p &\rightarrow \mathbb{R}
\end{align*}$$
$\varphi \circ f$ for contínua.
- W@wanessa_muricy
Eu fiquei com uma dúvida nesse, porque nós vimos que transformações lineares entres espaços normados, em que a dimensão do domínio é finita, são contínuas. Então, T não seria contínua de qualquer jeito? E como $\varphi \circ T$ é linear, não seria também?
- AAndré Caldas @andrecaldas
Eu não sei pra que coloquei "transformação linear" nessa questão! :-)
Você tem razão.
Se quiser, faça com $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q$ que não seja (necessariamente) linear.
- W@wanessa_muricy
$(\Rightarrow)$: Seja $A \in \mathcal{B}(\varphi(f(a)))$ (família das bolas abertas centradas em $\varphi(f(a))$. Como para qualquer $\varphi: \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}$ linear, $\varphi$ é contínuo, pois dim $\mathbb{R}^q < \infty$, então $\exists \ B \in \mathcal{B}(f(a))$ tal que $\varphi(B) \subseteq A$. Agora, por hipótese $f$ é contínua, logo $\exists \ C \in \mathcal{B}(a)$ tal que $f(C) \subseteq B$ Daí, $\varphi(f(C)) \subseteq \varphi(B) \subseteq A \Rightarrow (\varphi \circ f) (C) \subseteq A$. Portanto, $\forall \ A \in \mathcal{B}(\varphi(f(a))), \exists \ C \in \mathcal{B}(a)$ tal que $(\varphi \circ f) (C) \subseteq A \Leftrightarrow \varphi \circ f$ é contínua, qualquer que seja $\varphi: \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}$.
$(\Leftarrow)$: Tome, $\forall \ j = {1, \cdots, q}$, os funcionais lineares $\pi_j: \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}$, onde $\pi_j ((a_1, \cdots, a_q)) = a_j$. Então, por hipótese $\pi_j \circ f$ é contínua, logo é sequencialmente contínua, $\forall \ j$. Ou seja, $x_n \rightarrow a \Rightarrow (\pi_j \circ f)(x_n) \rightarrow (\pi_j \circ f)(a), \forall \ j$. Mas isso é $(f(x_n))_j \rightarrow (f(a))_j, \forall \ j \in {1, \cdots, q}$ e vimos que isso implica $f(x_n) \rightarrow f(a)$. Portanto, $f$ é sequencialmente contínua, logo contínua.
- AAndré Caldas @andrecaldas
Bacana. Em $(\Rightarrow)$, você está mostrando que composição de funções contínuas é uma função contínua. Eu não me importo que você use este fato (que já pode estar no seu cinto de utilidades). :-)