Exercício 8

Por hipótese, valem as convergências $x_{n} \to a$ e $x_{n} \to b$. Se $a = b$, então não há o que mostrar. Suponhamos agora $a \neq b$. Vamos mostrar que há uma contradição. De fato, se $x_{n} \to a$ e $x_{n} \to b$, então $\exists \ l_{1},l_{2} \in \mathbb{N}$ dado $\varepsilon > 0$ tais que
\begin{equation*}
\begin{array}{lcr}
\|x_{j} - a\| < \varepsilon ; & \mbox{e} & \|x_{k} - b\| < \varepsilon ,
\end{array}
\end{equation*}
$\forall \ j > l_{1}$ e $\forall \ k > l_{2}$. Tomando $\varepsilon = \frac{\|a - b\|}{2}$, tem-se que $\varepsilon > 0$, pois $a \neq b$. Além disso, $\forall \ m > \max \{ l_{1},l_{2} \}$, vale que \[ \|x_{m} - a\| + \|x_{m} - b\| < \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon = 2 \cdot \frac{\|a - b\|}{2} = \|a - b\|.\] No entanto, como \[ \|a - b\| = \|a - x_{m} + x_{m} - b\| \leqslant \|x_{m} - a\| + \|x_{m} - b\|,\] obtém-se que \[ \|x_{m} - a\| + \|x_{m} - b\| < \|a - b\| \leqslant \|x_{m} - a\| + \|x_{m} - b\|,\] um absurdo. Logo $a = b$, concluindo a demonstração.